נקודת לגראנז' השנייה במערכת כדור הארץ והשמש

בפוסט כאן למדנו כיצד במערכת כדור הארץ והשמש, ניתן למקם טלסקופ חלל בנקודת לגראנז' השנייה. בנקודה זו זמן ההקפה של הטלסקופ סביב השמש יהיה שווה לשנה אחת בדיוק, בדומה לזמן ההקפה של כדור הארץ סביב השמש. להלן נפתח את המשוואה שבעזרתה ניתן למצוא את נקודת לגראנז' השנייה.

נתחיל בחוק השני של ניוטון על הטלסקופ:

\(\displaystyle F = {m_ * }{a_ \bot }\)

כאשר \({a_ \bot }\) זו התאוצה הרדיאלית ו- \({m_ * }\) זו המסה של הטלסקופ. סך הכוחות שפועלים על הטלסקופ \(F\) אלו כוח המשיכה מהשמש ומכדור הארץ:

\(\displaystyle \frac{{GM}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}} + \frac{{Gm}}{{{r^2}}} = \frac{{{v^2}}}{{R + r}}\)

כאשר \(R\) זה מרחק כדור הארץ מהשמש, \(r\) זה מרחק הטלסקופ מכדור הארץ, \(M\) זו מסת השמש ו- \(m\) זו מסת כדור הארץ. שימו לב כי מסת הטלסקופ \({m_ * }\) אינה מופיעה כי היא מצטמצמת מכל אברי המשוואה. בנוסף, \(v\) זו מהירות הסיבוב של הטלסקופ סביב השמש, שהרי: \({a_ \bot } = {v^2}/\left( {R + r} \right)\).

נוכל להציב \(v = \omega \left( {R + r} \right)\) ונקבל:

\(\displaystyle \frac{{GM}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}} + \frac{{Gm}}{{{r^2}}} = {\omega ^2}\left( {R + r} \right)\)

כעת נרצה כי המהירות הזוויתית \({\omega ^2}\) של הטלסקופ תהיה זהה למהירות הזוויתית של כדור הארץ, לכן נוכל לרשום את החוק השני של ניוטון עבור כדור הארץ:

\(\displaystyle \frac{{GMm}}{{{R^2}}} = m{\omega ^2}R\)

נבודד את \({\omega ^2}\) ונקבל:

\(\displaystyle {\omega ^2} = \frac{{GM}}{{{R^3}}}\)

אם נציב את \({\omega ^2}\) במשוואת הכוחות על הטלסקופ, נקבל:

\(\displaystyle \frac{{GM}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}} + \frac{{Gm}}{{{r^2}}} = \frac{{GM}}{{{R^3}}} \cdot \left( {R + r} \right)\)

אם נפתור את המשוואה הזו עבור \(r\) נמצא את המרחק של הטלסקופ מכדור הארץ, וזו בדיוק נקודת לגראנז' השנייה. הבעיה היא כי מדובר במשוואה ממעלה חמישית ואין לה פתרון אלגברי כללי. ניתן כמובן לפתור את המשוואה באופן נומרי ולמצוא את המרחק \(r\) בכל רמת דיוק שנרצה. אמנם, תחת הנחות וקירובים מסוימים, ניתן לפשט את המשוואה ולמצוא פתרון אנליטי מקורב:

\(\displaystyle r = R \cdot {\left( {\frac{m}{{3M}}} \right)^{\frac{1}{3}}}\)

אם נציב את מסת השמש, מסת כדור הארץ ואת מרחק כדור הארץ מהשמש בקילומטרים נקבל:

\(\displaystyle r = 150 \cdot {10^6} \cdot {\left( {\frac{{6 \cdot {{10}^{24}}}}{{3 \cdot 2 \cdot {{10}^{30}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = \)

\(\displaystyle = 1.5 \cdot {10^6}\left[ {km} \right]\)