הוכחת החוק השלישי של קפלר

בפוסט כאן הצגנו את החוק השלישי של קפלר, שאותו ניתן להוכיח בקלות באמצעות החוק השני של ניוטון \(F=ma\) עבור כוכב לכת הנמצא במסלול מעגלי סביב השמש. נוכל להציב בחוק השני של ניוטון את התאוצה הרדיאלית:

\(\displaystyle a=\frac{{{{v}^{2}}}}{R}=\frac{{{{{\left( {\omega R} \right)}}^{2}}}}{R}={{\omega }^{2}}R\)

וכן את כוח המשיכה בין השמש לכוכב הלכת:

\(\displaystyle F=G\cdot \frac{{Mm}}{{{{R}^{2}}}}\)

ונקבל:

\(\displaystyle G\cdot \frac{{Mm}}{{{{R}^{2}}}}=m{{\omega }^{2}}R\)

נוכל להשתמש בקשר בין המהירות הזוויתית לזמן ההקפה של כוכב הלכת:

\(\displaystyle {{\omega }^{2}}={{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)}^{2}}=\frac{{4{{\pi }^{2}}}}{{{{T}^{2}}}}\)

נציב בחוק השני של ניוטון ונקבל לאחר ארגון מחדש של המשוואה:

\(\displaystyle \frac{{{{R}^{3}}}}{{{{T}^{2}}}}=\frac{{GM}}{{4{{\pi }^{2}}}}\)

וזה החוק השלישי של קפלר הקובע כי יש יחס קבוע בין החזקה השלישית של המרחק הממוצע מהשמש, \({{{R}^{3}}}\), לבין ריבוע זמן ההקפה, \({{{T}^{2}}}\).

הניתוח לעיל תקף עבור מסלול מעגלי מושלם, לכן המרחק הממוצע מהשמש הוא פשוט הרדיוס \(R\). מכל מקום, ניתן לקבל ביטוי דומה גם עבור מסלול אליפטי. עבור מסלול אליפטי, יש להחליף את הרדיוס \(R\), במחצית הציר הראשי של האליפסה \(a\). בנוסף, המסה של כוכב הלכת \(m\), לא נעלמת ויש לקחת בחשבון את המסה של שני הגופים יחד \(M+m\). הביטוי שמתקבל הוא:

\(\displaystyle \frac{{{{a}^{3}}}}{{{{T}^{2}}}}=\frac{{G\left( {M+m} \right)}}{{4{{\pi }^{2}}}}\)

כעת ניתן לראות כי אמנם היחס \(\frac{{{{a}^{3}}}}{{{{T}^{2}}}}\) קבוע, אך אם מסת כוכב הלכת משתנה נקבל ערך שונה. השינוי קטן מאוד כי מסת השמש גדולה מאוד ביחס לכל אחד מכוכבי הלכת.