בפוסט כאן למדנו על החוק השלישי של קפלר הקושר בין זמן ההקפה של כוכב הלכת לבין המרחק הממוצע של כוכב לכת מהשמש, כאשר כוכב הלכת מקיף את השמש במסלול אליפטי, והשמש נמצאת באחד ממוקדי האליפסה.
את המרחק הממוצע ניתן להגדיר ולחשב בשלוש דרכים שונות, אך ראשית יש לדעת כי לאליפסה יש שני צירים, ציר ראשי וציר ומשני, ואת מחצית הצירים הנ"ל מסמנים באות \(a\) (מחצית הציר הראשי) ובאות \(b\) (מחצית הציר המשני):
מידת הפחיסות של האליפסה נקראת: אקסצנטריות, מסומנת באות \(e\), ומוגדרת כך:
\(\displaystyle e=\sqrt{{1-\frac{{{{b}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}}}\)
בגלל ש- \(b\le a\), נקבל כי \(0\le e<1\). על פי הגדרות אלה נוכל לציין שלוש דרכים שונות לחשב את המרחק הממוצע של כוכב לכת מהשמש.1
דרך ראשונה
דרך אחת להגדיר מרחק ממוצע של כוכב לכת מהשמש, היא לקחת את הערך הממוצע של המרחק הארוך ביותר והמרחק הקצר ביותר. לדוגמה: כדור הארץ נמצא במרחק הקצר ביותר לשמש \({{r}_{{\min}}}\) בנקודת הפריהליון, ובמרחק הארוך ביותר מהשמש \({{r}_{{\max}}}\) בנקודת האפהליון, כפי שניתן לראות בתרשים:
הממוצע בין שני ערכים אלה הוא:
\(\displaystyle a=\frac{{{{r}_{{\min}}}+{{r}_{{\max}}}}}{2}\)
כאמור לעיל, הפרמטר \(a\) נקרא גם: מחצית הציר הראשי של האליפסה. מהתרשים ניתן לראות כי הציר הראשי של האליפסה הוא אורך הקו המחבר בין שתי הנקודות: האפהליון והפריהליון, ו- \(a\) הוא מחצית האורך הנ"ל.
דרך שנייה
דרך נוספת לחשב מרחק ממוצע היא באמצעות מיצוע גיאומטרי על פני כל המרחקים האפשריים. את המרחק של כל נקודה על האליפסה מהמוקד ניתן לסמן באות \(r\), ומרחק זה יהיה פונקציה של הזווית \(\theta\), כפי שניתן לראות בתרשים הבא:
הקשר בין \(r\) לבין \(\theta\) נתון על ידי:
\(\displaystyle r\left( \theta \right)=a\frac{{1-{{e}^{2}}}}{{1+e\cos \theta }}\)
בדרך זו, ניתן לחשב את הממוצע של \(r\) על פני כל הטווח של זווית \(\theta\):
\(\displaystyle {{r}_{{avg}}}=\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{0}^{{2\pi }}{{r\left( \theta \right)d\theta }}=a\sqrt{{1-{{e}^{2}}}}=b\)
מפתיע לגלות כי בשיטה זו של מיצוע גיאומטרי, המרחק הממוצע אינו מחצית הציר הראשי \(a\), אלא מחצית הציר המשני \(b\).
בהקשר זה מעניין לציין כי הזווית \(\theta\) נקראת: True anomaly, אך את הפרמטר \(r\) ניתן גם להגדיר באמצעות זווית אחרת המסומנת באות \(E\) ונקראת Eccentric anomaly, באופן הבא: \(r\left( E \right)=a\left( {1-e\cos E} \right)\). אם מחשבים מיצוע גיאומטרי של \(r\) על פני הזווית \(E\), מקבלים:
\(\displaystyle {r_{avg}} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {r\left( E \right)dE} = a\)
דרך שלישית
דרך נוספת היא לחשב את הממוצע של \(r\) לאורך כל זמן ההקפה \(T\). בשיטה זו יש לבטא את \(r\) לא כפונקציה של הזווית \(\theta\) או \(E\), אלא כפונקציה של הזמן \(t\). לכן באינטגרל נצטרך להציב \(r\left( t \right)\) במקום \(r\left( \theta \right)\). במילים אחרות, נצטרך למצוא את \(\theta \left( t \right)\) כדי להציב: \(r\left[ {\theta \left( t \right)} \right]\). הביטוי המדויק מורכב יותר ולא נציג אותו כאן, אך נסתפק רק בתוצאה הסופית:
\(\displaystyle {{r}_{{avg}}}=\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}{{r\left[ {\theta \left( t \right)} \right]dt}}=a\left( {1+\frac{{{{e}^{2}}}}{2}} \right)\)
ניתן לראות כי בשיטה זו המרחק הממוצע נע בין \(a\) לבין \(1.5\cdot a\), תלוי באקסצנטריות של האליפסה.