חישוב מרחק במרחב-זמן

בפוסט כאן למדנו על המושג מרחק במרחב-זמן. נציג להלן את הדרך שבה מחשבים מרחק במרחב-זמן וכיצד שיטת החישוב שונה מההגדרה הפשוטה במרחב רגיל.

בתורת היחסות, עקמומיות המרחב-זמן נקבעת על ידי מטריצה שמייצגת את שלושת קורדינטות המרחב ואת קורדינטת הזמן:

\(\displaystyle g=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{g}_{{00}}}} & {{{g}_{{01}}}} & {{{g}_{{02}}}} & {{{g}_{{03}}}} \\ {{{g}_{{10}}}} & {{{g}_{{11}}}} & {{{g}_{{12}}}} & {{{g}_{{13}}}} \\ {{{g}_{{20}}}} & {{{g}_{{21}}}} & {{{g}_{{22}}}} & {{{g}_{{23}}}} \\ {{{g}_{{30}}}} & {{{g}_{{31}}}} & {{{g}_{{32}}}} & {{{g}_{{33}}}} \end{array}} \right)\)

כאשר הקורדינטות מוגדרות כך:

\(\left({{x}^{0}},{{x}^{1}},{{x}^{2}},{{x}^{3}}\right)=\left(ct,x,y,z\right)\)

כאשר גוף נע במרחב-זמן לאורך קו-עולם כלשהוא, המרחק של כל אינטרוול אינפיניטסימלי בקו-העולם מוגדר כך:

\(\displaystyle ds=\sqrt{{{{g}_{{\mu \nu }}}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}}}\)

האינדקסים \(\mu\) ו- \(\nu\) מציינים סכימה על כל איברי המטריצה:

\({{g}_{{\mu \nu }}}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}=\)

\(={{g}_{{00}}}d{{x}^{0}}d{{x}^{0}}+{{g}_{{01}}}d{{x}^{0}}d{{x}^{1}}+\cdots +\)

\(+{{g}_{{10}}}d{{x}^{1}}d{{x}^{0}}+{{g}_{{11}}}d{{x}^{1}}d{{x}^{1}}+\cdots\)

המרחק הכולל שעבר הגוף במרחב-זמן הוא אינטגרל לאורך קו-העולם שבו הוא נע:

\(\displaystyle S=\int\limits_{a}^{b}{{ds}}\)

כאשר \(a\) ו- \(b\) אלו נקודות ההתחלה והסיום במרחב-זמן:

\(\displaystyle a=\left( {c{{t}_{a}},{{x}_{a}},{{y}_{a}},{{z}_{a}}} \right)\)

\(\displaystyle b=\left( {c{{t}_{b}},{{x}_{b}},{{y}_{b}},{{z}_{b}}} \right)\)

הזמן שנמדד על ידי שעון שנע ביחד עם הגוף לאורך אותו קו-עולם נתון על ידי:

\(\displaystyle \Delta \tau =\frac{S}{c}\)

כאשר \(c\) זו מהירות האור. לכן ככל שמרחק \(S\) גדול יותר, כך הזמן \(\Delta \tau\) גדול יותר. לכן בכל תרחיש של פרדוקס התאומים, כל אחד מהאחים נע לאורך קו-עולם משלו, ואין זה משנה כמה קו-העולם של כל תאום מפותל או מורכב. בסופו של דבר, קו-העולם של כל אחד מהתאומים יהיה מוגבל משני קצותיו על ידי שני מאורעות: 1. רגע הפרידה בתחילת המסע (נקודה \(a\)), 2. רגע המפגש בסוף המסע (נקודה \(b\)), ושתי נקודות אלו משותפות לשני התאומים.

התאום שעבר מרחק גדול יותר במרחב-זמן, הוא יהיה התאום המבוגר יותר.