להבין (הרבה יותר טוב) את פרדוקס התאומים.

בפוסט הקודם למדנו על פרדוקס התאומים המפורסם, המתרחש במסגרת תורת היחסות של איינשטיין. התיאור הקלאסי – והפשוט ביותר – של הפרדוקס כולל שני אחים תאומים, סֶלַע ואוֹפֵק, כאשר סלע נשאר בכדור הארץ בעוד אחיו התאום אופק יוצא למסע בחלל במהירות הקרובה למהירות האור. בסוף המסע, אופק חוזר לכדור ארץ ונפגש עם אחיו התאום סלע. להפתעתם של התאומים, אופק מגלה כי הוא יותר צעיר מאשר אחיו סלע.

כפי שראינו, ההסבר להזדקנות המהירה של סלע והאיטית של אופק, אינו טמון בעובדה כי אופק נסע בחלל במהירות מאוד גבוהה, שהרי כל אחד מהאחים יכול לטעון כי הוא זה שנמצא במנוחה ודווקא אחיו התאום הוא זה שנמצא בתנועה; כזכור, מהירות היא מושג יחסי, ולא ניתן לקבוע מי מהאחים נמצא "באמת" בתנועה. לכאורה, נקבל מצב אבסורדי: לפי תורת היחסות כל אחד מהתאומים צריך להיות צעיר יותר מאחיו ברגע המפגש.

הסיבה מדוע דווקא אופק הזדקן יותר לאט מסלע טמונה בעובדה כי רק אופק היה נתון תחת ההשפעה של תאוצה; בניגוד לסלע שנשאר בכדור הארץ, אופק היה צריך בשלב מסוים להאט, לעצור, להסתובב ולהאיץ שוב כדי לחזור בחזרה לכדור הארץ. מכאן נובע כי התאוצה היא הגורם לשבירת הסימטריה בין התאומים, וזו הסיבה מדוע אופק צעיר יותר מסלע.

המטרה של הפוסט הנוכחי היא בעצם לומר לכם:

תשכחו מכל הסיפור הזה עם התאוצה.

רגע, רגע… אז את כל מה שהסברתי בפוסט הקודם אפשר לזרוק לפח? אם התאוצה היא לא באמת הסיבה מדוע דווקא אופק צעיר יותר, אז מה כן?

ובכן, התשובה היא כך: זה נכון כי בתרחיש הקלאסי של הפרדוקס נקבל כי התאוצה היא הסיבה השורשית לפתרון, אך זה רק במקרה הפרטי שבו סלע נשאר בכדור הארץ ואופק יוצא למסע.

אבל אם תחשבו על זה לעומק, די מהר תוכלו בעצמכם להגיע למסקנה כי התאוצה לא יכולה להיות הגורם השורשי מדוע דווקא אופק צעיר יותר מסלע, ולא להיפך. הסיבה פשוטה: מה בדיוק מונע מסלע להיות נתון תחת השפעת תאוצה בדיוק כמו אחיו התאום אופק? במילים פשוטות: למה רק אופק מקבל חללית ויוצא למסע? למה שלא ניתן חללית גם לסלע, אה? אה?

חשבו למשל על התרחיש הבא:

• כל אחד מהתאומים נכנס לחללית משלו.
• גם סלע וגם אופק, שניהם יוצאים למסע בחלל בכיוונים מנוגדים, כל תאום אל עבר כוכב אחר.
• איפה שהוא באמצע הדרך סלע מתחרט, ומחליט לעצור ולחזור חזרה לכדור הארץ, עוד לפני שהגיע לכוכב היעד שלו.
• אופק לעומת זאת, משלים את המסע אל הכוכב שלו, ורק אז מסתובב וחוזר חזרה לכדור הארץ.

גם בתרחיש הזה, המתמטיקה של תורת היחסות מנבאת כי ברגע המפגש בין התאומים על כדור הארץ, הם לא יהיו באותו גיל. אלא שכעת, שניהם היו נתונים תחת השפעה של תאוצה! אם בתרחיש הקלאסי הפלנו את האשמה על התאוצה שפעלה על אופק בלבד ורק היא זו שגרמה לו להזדקן לאט יותר, מה נעשה כעת?¹

אז אם אתם רוצים להבין מה באמת גורם להפרש הגילאים בין התאומים, ומהי הסיבה השורשית שקובעת מי מבין התאומים יהיה צעיר יותר, זה הפוסט בשבילכם. כפי שתראו להלן, התשובה תוביל אתכם למחוזות יותר ביזאריים ויותר מעניינים בתפיסה שלנו את המציאות.

הסלון של אלוהים

כדי להבין מה באמת קובע את הפרש הגילאים בין התאומים – בכל תרחיש שרק תרצו – יש להבין מושג יסודי בתורת היחסות, ומהפכני בתולדות הפיזיקה:

מרחב-זמן

עד לתקופתו של איינשטיין, פיזיקאים תפסו את המציאות באותו אופן שבו כל אחד ואחת מאתנו תופסים אותה. בהתאם לחוויה היומיומית שלנו, כל הגופים ביקום – מגרגר חול קטן ועד השמש הגדולה – נעים בתוך מרחב תלת-ממדי, כאשר הזמן זורם לו ברקע בקצב קבוע ללא הפרעה. זו התפיסה השגרתית של כולנו, לא כך? נראה ברור כי כולנו רשאים לנוע בתוך מרחב שיש בו קדימה-אחורה, מעלה-מטה, ימינה-שמאלה. המרחב הזה עצום – אולי אפילו אינסופי – ומכיל בתוכו את כל הפלנטות, הכוכבים, הגלקסיות והחורים השחורים שביקום, הכל כולל הכל. בנוסף למרחב העצום הזה, עושה רושם כי קיים איזה שעון קוסמי שמתקתק לו ברקע, תיק-תק, תיק-תק, וכך חולף לו הזמן באותו מרחב עצום שבו הכל נמצא, בהתאם למחוגים של אותו שעון קוסמי בלתי נראה.

זוהי למעשה התפיסה הניוטונית של המציאות, ואפשר להציג אותה כך:

המרחב כולו הוא מעין אקווריום בסלון של אלוהים, והזמן נמדד על ידי שעון קיר גדול, שתלוי מעל האקווריום.

בנוסף, ברור כי כל מה שנמצא בתוך האקווריום הזה – הפלנטות, השמשות והגלקסיות – לא משפיעים על האקווריום עצמו, ובוודאי שלא על השעון. האקווריום קיים לכשעצמו והשעון מתקתק לו באופן עצמוני.

ואז הגיע איינשטיין והפך את כל התפיסה הזו על הראש.

המציאות כפלסטלינה

לפי התפיסה היחסותית של איינשטיין, האקווריום והשעון הפכו לישות אחת. המציאות כולה היא מעין גוש ארבעה-ממדי בו הזמן הפך להיות ציר נוסף לצידם של שלושת צירי המרחב. אין יותר מרחב וזמן, יש: מרחב-זמן.

אם זה לא מספיק, אז לפי איינשטיין המרחב-זמן אינו גוש "קשיח", הוא יותר דומה לפלסטלינה; במילים אחרות: המרחב-זמן יכול להימתח ולהתעוות. מי אחראי לכך? מי מעקם ומעצב את המרקם של המרחב-זמן הזה? ובכן, כולנו. אני, אתם, הכוכבים והגלקסיות. בקיצור, כל מה שממלא את המרחב-זמן משפיע על צורתו.

איינשטיין הראה כי במרחב-זמן הפלסטליני הזה, ייתכן בהחלט כי מאורעות שמבחינתכם כבר קרו בעבר, עדיין נמצאים בעתיד שלי, ולהיפך. אין יותר עבר, הווה ועתיד מוחלטים שתקפים בכל מקום. לכן למקף הקטן הזה בין שתי המילים מרחב וזמן יש משמעות גדולה מאוד: המרחב-זמן הוא ישות אחת, גוש ארבעה-מימדי שבו העבר והעתיד "ממשיים" בדיוק כמו ימין\שמאל, קדימה\אחורה ומעלה\מטה. אם לנסח זאת במילותיו של אחד מהפיזיקאים (והמתמטיקאים) הגדולים של המאה ה-20:

במרחב-זמן דברים פשוט קיימים, הם אינם מתרחשים.²

הרמן וייל (1885-1955)

יש מרחק, ויש מרחק

כל זה נחמד מאוד ומגניב נורא, אבל מה הקשר בין מרחב-זמן ארבעה מימדי לפרדוקס התאומים? איך בדיוק השינוי התפיסתי הזה עוזר לנו להבין מהי הסיבה האמיתית להפרש הגילאים בין האחים?

ובכן, המהפך שתיארתי לעיל בתפיסת המציאות, הוליד מתוכו שינוי תפיסתי נוסף הקשור למושג:

מרחק

גם במקרה זה, כולנו מבינים באופן אינטואיטיבי במה מדובר, נכון? מה הבעיה: קחו חוט, תמתחו אותו בין שתי נקודות במרחב, ואורך החוט הוא המרחק מכאן לשם, אין יותר פשוט מזה. אבל האינטואיציה היומיומית שיש לכולנו לגבי המושג מרחק, זו אינטואיציה שרלוונטית במציאות לפי התפיסה הניוטונית. אך לפי התפיסה היחסותית של איינשטיין, המציאות היא מרחב-זמן ארבעה מימדי, והמושג מרחק מקבל משמעות אחרת לגמרי:

• לפי התפיסה הניוטונית, מרחק נמדד בין שתי נקודות במרחב.
• לפי התפיסה היחסותית, מרחק נמדד בין שני אירועים במרחב-זמן.

זה נשמע קצת מוזר, אני יודע, אך חשוב להדגיש כי מרחק במרחב-זמן של איינשטיין אינו אותו מרחק במרחב "הרגיל" של ניוטון! גם מבחינה מתמטית, לכל מרחק יש שיטת חישוב שונה! אם יש לכם עצבים וסבלנות, אז בקישור כאן אני מפרט יותר על המתמטיקה של כל העסק, אבל בשורה התחתונה: מרחק במרחב-זמן יחסותי מוגדר ומחושב באופן שונה מאשר מרחק במרחב ניוטוני "רגיל".³ הדוגמה הפשוטה ביותר שניתן לחשוב עליה כדי להפנים את העובדה שאכן מדובר בשני סוגים שונים של מרחק, היא כאשר אתם יושבים במקום, ולא זזים בכלל:

• לפי התפיסה הניוטונית, כל עוד אתם יושבים במקום אתם עוברים מרחק השווה לאפס. זה פשוט וברור, הרי אתם לא זזים.
• לפי התפיסה היחסותית, גם אם אתם יושבים במקום ולא זזים מילימטר, אתם עדיין נעים בתוך המרחב-זמן, ולכן במרחב-זמן אתם עוברים מרחק שאינו אפס, זה פשוט מרחק מסוג אחר.

שמיניות בחלל

אוקיי, אז איך בדיוק התובנה הזו רלוונטית לפרדוקס התאומים?

ובכן, כל תרחיש של פרדוקס התאומים שתוכלו לחשוב עליו, תמיד יהיה תחום באמצעות שני אירועים במרחב-זמן:

1. האירוע הראשון הוא כאשר התאומים מסנכרנים את השעונים שלהם ונפרדים זה מזה.
2. האירוע השני הוא כאשר התאומים נפגשים שנית ומשווים בין השעונים שלהם (ברור כי אין הכרח שהם יפגשו באותו מקום שבו נפרדו).

בין שני האירועים האלה, כל תאום יכול לעשות מה שבא לו: להישאר במקום, או לצאת למסע באיזה כיוון שירצה, לכמה זמן שרק ירצה, ובכל מהירות שמתחשק לו. כל תאום יכול להאט, להאיץ, לעצור, להסתובב וגם לעשות שמיניות בחלל. באופן כללי ניתן לומר כי כל תאום יכול לנוע באיזה מסלול מפותל שרק ירצה, זה לא משנה.

אבל! ברגע שבו התאומים נפגשים שוב ומשווים שעונים, יש רק דבר אחד שיקבע את הפרש הגילאים ביניהם: המרחק שכל תאום עבר במרחב-זמן. במילים פשוטות:

התאום שעבר מרחק ארוך יותר במרחב-זמן, הוא יהיה האח המבוגר יותר. תמיד.

הבנתם? המרחק במרחב-זמן הוא הסיבה האמיתית להפרש הגילאים בין התאומים, וזה מה שקובע מי מהתאומים יהיה צעיר יותר ומי מבוגר יותר. ברור כי המרחק במרחב-זמן שעבר כל תאום מושפע מגורמים כגון: תאוצה, מהירות ומשך זמן המסע, אבל אף אחד מהגורמים הנ"ל לא קובע באופן בלעדי איזה תאום יהיה צעיר יותר.⁴

סיכום

כפי שראינו לעיל, התרחיש הפשוט ביותר של פרדוקס התאומים – זה שיציגו לכם בכל מקום – הוא התרחיש בו תאום אחד נשאר בכדור הארץ במנוחה והתאום השני יוצא למסע בחלל, וחוזר לכדור הארץ. בתרחיש הפשוט הזה, נקבל כי התאום שיצא למסע הוא הצעיר יותר, ונראה (לכאורה) כי הסיבה לכך היא בגלל שרק הוא היה נתון תחת השפעת תאוצה.

עכשיו אתם יודעים כי זה רק במקרה… התאוצה אינה הגורם הבלעדי להכריע בשאלה מי יהיה צעיר יותר, מה שקובע זה אך ורק המרחק שעבר כל תאום במרחב-זמן. ושוב, זכרו כי לא מדובר במרחק "רגיל" במרחב כפי שאנו תופסים אותו באופן יומיומי, אלא במושג אחר לגמרי; לדוגמה: אפשר להראות כי יש תרחישים שבהם גם אם תאום אחד לא זז מילימטר מהמקום, עדיין לפעמים הוא יהיה הצעיר ולפעמים המבוגר.

כדי לא להעמיס על הפוסט יותר מדי, אני מרחיב על המקרים האלה בקישור כאן, מהם ניתן לראות בבירור כי התאוצה אינה קובעת: בתרחיש אחד נגלה כי התאום המאיץ נשאר צעיר יותר מאחיו, אך בתרחיש אחר התאום המאיץ דווקא הופך מבוגר יותר מאחיו.

1. אפשר לקחת את התרחיש למקרה קיצוני יותר, למשל אם נניח כי סלע מתחרט יותר מפעם אחת במהלך המסע שלו. במילים אחרות: בדרך לכוכב סלע יכול להסתובב חזרה לכדור הארץ, ושוב להתחרט ולהסתובב שנית לכוכב ולאחר מכן שוב להסתובב ולחזור לכדור הארץ. יוצא כי סך הכל סלע היה נתון תחת השפעת תאוצה למשך זמן ארוך יותר מאופק, ועדיין נקבל כי ברגע המפגש, אופק הוא הצעיר יותר. [↩]
2. זה תרגום חופשי, לא מילולי, של הציטוט המקורי: "The objective world is, it does not happen" [↩]
3. זאת למרות שלשני סוגי המרחקים יש את אותם יחידות. בנוסף, יש להדגיש כי המרחק היחסותי המוזכר כאן נקרא: Proper distance, ואין לבלבל בינו לבין: Proper length, או: Coordinate distance. [↩]
4. באופן מפתיע, ניתן להוכיח כי בתרחיש הקלאסי של פרדוקס התאומים, דווקא התאום שנשאר בכדור הארץ עבר מרחק ארוך יותר במרחב-זמן. [↩]