להבין את פרדוקס התאומים

תורת היחסות הפרטית של איינשטיין חוללה מהפכה של ממש בכל מה שקשור לדרך שבה אנו תופסים מבחינה פיזיקלית את המרחב וגם את הזמן. לפי איינשטיין, המרחב והזמן אינם מושגים אבסולוטיים, כלומר: הם אינם קיימים במציאות באופן מוחלט. ההיפך הוא הנכון: המרחב והזמן אלו מושגים יחסיים, והם תלויים במהירות שבה אנו נעים. בחיי היומיום אתם נעים במהירויות מאוד נמוכות (ביחס למהירות האור), אך אם תנועו במהירות שמתקרבת למהירות האור, אז אתם תגלו שהזמן והמרחב מתחילים "להתכווץ".¹

רגע אחד… להתכווץ? מה זה בכלל אומר? אז בואו ונוריד את הדברים לקרקע באמצעות דוגמה פשוטה, אמנם לא-מציאותית, אך מספיקה כדי להמחיש את העיקרון:

• דמיינו שהייתם רצים מרתון במהירות של 60% ממהירות האור. במהירות כזו גבוהה, אתם תגלו כי אורך המסלול יתקצר ב-20% וכעת הוא לא יעמוד על 42 ק"מ, אלא על 33.6 ק"מ. אני מתכוון לכך ברצינות, המרחב עצמו יתכווץ: בכיוון הריצה שלכם, כל האובייקטים יהפכו להיות רזים יותר, או מעוכים קצת. אני יודע שזה נשמע מאוד מוזר, אבל מה לעשות, זו תוצאה שנובעת ישירות מתוך המתמטיקה של תורת היחסות.²   
• בנוסף, גם הזמן עצמו יתכווץ, וכל העולם שסביבכם יראה כאילו הוא מתנהל בהילוך איטי (Slow motion). לדוגמה: אם תוך כדי ריצה אתם תסתכלו על שעון קיר גדול המונח על חזית אחד מהבניינים שברחוב, אתם תגלו כי מחוגי השעון הזה מתקתקים יותר לאט, בהשוואה לתנועת מחוגי השעון שעל היד שלכם. גם כאן, קצב הזמן בכל העולם שסביבכם יואט ב-20%, כלומר: בזמן שהשעון על היד שלכם יתקתק 5 שניות, השעון שעל קיר הבניין יתקתק רק 4 שניות. שוב, זה נשמע מאוד מוזר, אבל זו המציאות על פי תורת היחסות.³

אין זה מפתיע כי די מהר תורתו של איינשטיין הולידה מתוכה תרחישים משונים ומוזרים, שבמבט ראשון נראה כי קשה מאוד לעכל. אחד מאותם תרחישים מוזרים – ואולי המפורסם שבהם – נקרא:

פרדוקס התאומים.

אם שמעתם בעבר על הפרדוקס אבל הרגשתם שהנושא עבר לכם מעל הראש, ואף פעם לא הצלחתם להבין על מה בדיוק מדובר, איפה בדיוק הפרדוקס, ומה הפתרון שלו, אז זה הפוסט בשבילכם.

לפני שאתאר את הפרדוקס ופתרונו, חשוב לזכור כי תורת היחסות של איינשטיין עמדה – ועדיין עומדת היום – במבחן הניסוי האמפירי. אלפי ניסויים שנעשו מאז תחילת המאה ה-20 ועד היום מאששים שוב ושוב את תורת היחסות. לכן גם אם המסקנות של תורת היחסות נראות לנו מוזרות, בכל זאת יש להתייחס אליהן ברצינות.⁴

קפצה עליו הזקנה

נתחיל בתיאור מפורט של הפרדוקס עצמו:

• הכירו את סֶלַע ואוֹפֵק, שני אחים תאומים שנולדו באותו יום על כדור הארץ.
• מאז ומתמיד, סלע העדיף להישאר בבית, ובקושי יצא לשחק בחוץ.
• אופק לעומת זאת, רק חיפש הרפתקאות וחלם להיות אסטרונאוט עוד מכיתה א'.
• יום אחד אופק החליט לצאת למסע בחללית מכדור הארץ אל עבר כוכב מרוחק.
• סלע, כצפוי, נשאר בכדור הארץ.
• לאורך המסע, החללית של אופק נוסעת בחלל במהירות גבוהה מאוד, מהירות הקרובה למהירות האור.
• ברגע שאופק הגיע לכוכב, הוא החליט שלא להישאר, ולכן מיד סובב את החללית והחל חוזר בחזרה לכדור הארץ באותה מהירות שבה נסע בדרך הלוך.
• המסע של אופק מסתיים כאשר הוא חוזר לכדור הארץ, ונפגש עם אחיו התאום סלע.

כעת מתרחשת תופעה מאוד מוזרה:

אופק מגלה כי אחיו התאום סלע הרבה יותר מבוגר ממנו.

במילים פשוטות: נוצר מצב כי אופק הזדקן לאט יותר אבל סלע הזדקן מהר יותר, ולכן בסוף המסע אופק הרבה יותר צעיר מאחיו התאום סלע. איך זה ייתכן?

אוקיי, לפני שנתקדם, יש לעצור לרגע ולהדגיש כי עובדה זו לכשעצמה אינה נחשבת "פרדוקס". לכל היותר, מדובר בתופעה מאוד מוזרה, כזו שאנו לא רגילים אליה בחיי היומיום, שהרי ברור כי על פי החוויה הרגילה שלנו, תאומים מזדקנים באותו קצב ותמיד נשארים באותו גיל. מכל מקום – בין אם זה מוצא חן בעינינו או לא – תורת היחסות של איינשטיין מנבאת שאופק וסלע לא יזדקנו באותו קצב. מה לעשות, זו התחזית של תורת היחסות של איינשטיין, ואם התורה נכונה, אז זה מה שיקרה במציאות.

אם כן, מהו בדיוק הפרדוקס בכל העסק?

הכל יחסי בחיים

ובכן, הפרדוקס טמון בעובדה כי המושג הפיזיקלי: מהירות, הוא מושג יחסי. במילים פשוטות: כאשר שני גופים נעים במהירות קבועה אחד ביחס לשני, אין שום דרך לקבוע איזה גוף נמצא "באמת" בתנועה ואיזה גוף נמצא "באמת" במנוחה. מבחינה פיזיקלית, ניתן לקבוע כי גוף א' נמצא במנוחה וגוף ב' נע ביחס אליו, אך ניתן לקבוע גם את ההיפך הגמור (גוף א' בתנועה וגוף ב' במנוחה), ושתי הקביעות הנ"ל שקולות. 

אם נתרגם את הרעיון הנ"ל לתרחיש של פרדוקס התאומים נגיע למסקנה הבאה:

• סלע – התאום בכדור הארץ – טוען שהוא נמצא במנוחה, ואחיו אופק – שיצא למסע בחללית – הוא זה שנמצא בתנועה.
• אבל מבחינתו של אופק – החללית היא זו שנמצאת במנוחה, ודווקא אחיו התאום סלע, הוא זה שנמצא בתנועה. מבחינתו של אופק, כדור הארץ הוא זה שיצא למסע מרוחק בחלל וחזר לבסוף אל החללית!

אני יודע מה אתם חושבים… עושה רושם כי נקודת המבט של אופק נראית מופרכת לחלוטין, שהרי אנו מורגלים בכך שכדור הארץ – בניגוד לחלליות – לא יוצא למסע בין כוכבי. אבל זכרו כי כדור הארץ אינו הכרחי במקרה זה, הוא נמצא רק בשביל לעשות את הסיפור יפה. אפשר להיפטר מכדור הארץ לגמרי, ולדמיין כאילו כל תאום נמצא בתוך חללית משלו. שניהם מרחפים להם ביחד בחלל הריק, רחוק מכל פלנטה, עד שאחד מהם מחליט לצאת למסע ולחזור. לא משנה מי מהאחים יצא למסע, ממילא כל אחד מהם יחשוב שהוא עצמו נמצא במנוחה ודווקא התאום שלו הוא זה שנמצא בתנועה. 

אם עדיין מציק לכם שרק אחד מהתאומים התניע בפועל את מנועי החללית, לא נורא… הרי אפשר גם לדמיין תרחיש בו שני האחים יוצאים למסע בכיוונים מנוגדים, ולאחר זמן מה אחד מהם מסתובב, חוזר חזרה ומדביק את אחיו. כל זה לא משנה, בשורה התחתונה נקבל מצב זהה:

כאשר סלע מביט מחלון החללית שלו, הוא רואה את אופק מתרחק, נעלם, ולאחר זמן מתקרב בחזרה. אבל באותה מידה, גם אופק מביט מחלון החללית שלו, וגם הוא רואה את סלע מתרחק, נעלם, ולאחר זמן מתקרב בחזרה.

יוצא אם כן כי לפי תורת היחסות, כל אחד מהאחים צריך להיות מבוגר יותר מהתאום שלו, שהרי על כל אחד מהם ניתן לומר כי הוא נמצא בתנועה ביחס לתאום שלו.

זה הפרדוקס.

גם אם נקבל את העובדה (המוזרה) כי לפי תורת היחסות התאומים לא יהיו באותו גיל, עדיין ברגע המפגש רק אחד מהם יכול להיות מבוגר יותר. אבל מי? לא ייתכן כי העקרונות של תורת היחסות יובילו למסקנות סותרות.

לשבור את הסימטריה

אז מה הפתרון?

ובכן, הפתרון טמון בהבנה שמצב האחים אינו באמת סימטרי, ונקודות המבט שלהם אינן שקולות. הסימטריה נשברת לא בגלל שתאום אחד יצא למסע ולכן נמצא בתנועה, שהרי לא ניתן לקבוע מי נע "באמת". הסימטריה נשברת כי רק אחד מהאחים (אופק במקרה הזה) שינה את כיוון המהירות שלו בנקודה שבה הסתובב כדי לחזור לכדור הארץ. במבט ראשון זה אולי נראה כמו פרט קטן, אבל פה קבור הכלב:

שינוי מהירות יוצר תאוצה.

יוצא מכאן כי אמנם כל תאום רואה את עצמו במנוחה ואת אחיו בתנועה, אבל רק תאום אחד בלבד נתון בפועל תחת השפעה של תאוצה, ואת השפעת התאוצה אי אפשר לפספס.

כולנו מכירים את התופעה מחיי היומיום: כאשר אנו נוסעים במכונית במהירות קבועה בקו ישר, אנו לא מרגישים שום דבר מיוחד, וזה לא משנה אם אנו נוסעים ב- 100 קמ"ש, 200 קמ"ש או אפילו לא נוסעים כלל. לעומת זאת, אם המכונית תבצע פניה חדה, מיד נרגיש כיצד אנו נלחצים הצידה. אם המכונית תבצע עצירה פתאומית, נגלה שאנו נזרקים קדימה. בכל המקרים הללו יש לנו אינדיקציה ברורה שהמערכת נמצאת בתאוצה. במילים פשוטות: התאוצה שוברת את הסימטריה בפרדוקס התאומים.⁵

בשלב זה ייתכן כי אתם מרגישים כי עדיין לא קיבלתם הסבר, ואתם צודקים. סביר להניח כי הקורא הנבוך עדיין מגרד בראשו ולא מבין איך בדיוק התאוצה גורמת להפרש הגילאים. מה המנגנון המדויק? 

ובכן, התשובה המעצבנת היא כי אין ברירה, צריך לעשות את החשבון. במילים אחרות: יש לנסח את משוואות תורת היחסות המתאימות, לפתור אותן, ולהיווכח כי התאוצה של התאום בחללית היא זו שגורמת לו להיות צעיר יותר בהשוואה לאחיו בכדור הארץ.⁶ 

ברור לכולנו כי חפירות במתמטיקה זו אינה המטרה של הבלוג. לכן השאלה המתבקשת היא זו:

האם ניתן להסביר כיצד נוצר הפרש הגילאים בין התאומים באופן פשוט וברור מבלי להיכנס לחישובים מסובכים?

התשובה היא:

כן, אפשר.

אז חשבתי כיצד ניתן לקחת את הפתרון המתמטי הטרחני, ולעשות לו טרנספורמציה כך שנוכל לתאר את הפתרון באופן מילולי, שלב אחרי שלב, מנקודת המבט של כל תאום בנפרד. זה בדיוק מה שאעשה להלן: אפרט כיצד קצב הזמנים משתנה בין שני האחים לאורך המסע, ויותר חשוב: מדוע ברגע המפגש, שניהם אכן יסכימו שדווקא התאום בכדור הארץ הוא המבוגר יותר.

מכל מקום, קחו בחשבון כי לוקח קצת זמן לעכל את כל השלבים בתיאור, אז ייתכן ותצטרכו לקרוא את רצף האירועים פעמיים-שלוש לפני שהאסימון יפול. כך או כך, זה אתגר נחמד והתעמלות בריאה למוח. בסוף השכר משתלם, כי זו אחת הדרכים הטובות ביותר להפנים את העקרונות של תורת היחסות.

לפני שאתחיל, הערה טכנית חשובה: שימו לב כי את הזמן אמדוד בשנים, ואת המרחק בשנות-אור. זו שיטה נוחה מאוד כדי לתאר גופים שנעים במהירות גבוהה, לדוגמה:

• גוף שנע במהירות האור, יעבור במשך שנה אחת מרחק השווה לשנת-אור אחת.
• גוף שנע בחצי ממהירות האור, יעבור במשך שנתיים מרחק השווה לשנת-אור אחת.
• גוף שנע ברבע ממהירות האור, יעבור במשך שנה אחת, מרחק השווה לרבע שנת-אור אחת.
• וכן הלאה, וכן הלאה…

רצף המאורעות בפרדוקס התאומים

כדי להכין את הקרקע להסבר, נניח שלכל אחד מהאחים יש שעון קיר שמראה כמה זמן חלף. בתחילת המסע, שני האחים מאפסים את השעונים שלהם ומסנכרנים ביניהם. בנוסף, לכל אחד מהאחים יש מצלמה שמתעדת את השעון האישי שלו, ושולחת את התיעוד באופן רציף לאח השני. לכן בכל רגע נתון, כל אחד מהאחים רואה גם את שעון הקיר שלו, אבל הוא גם רואה על גבי מסך שידור חי של שעון הקיר של האח השני. חשוב לזכור: השידור של המצלמה נשלח על ידי גלי-רדיו הנעים במהירות האור, וכידוע זו מהירות סופית!

מיד לאחר שהתאומים מאפסים את השעונים שלהם, אופק יוצא בחללית למסע במהירות שגודלה 60% ממהירות האור אל עבר כוכב המרוחק 6 שנות-אור מכדור הארץ. סלע נשאר בכדור הארץ.

שאלה ראשונה: כמה זמן אורך המסע לכוכב מנקודת המבט של כל אחד מהתאומים?

• מבחינתו של סלע, החללית של אופק צריכה לעבור מרחק של 6 שנות-אור במהירות של 60% ממהירות האור, לכן אופק יגיע לכוכב לאחר 10 שנים. אבל את רגע ההגעה של אופק לכוכב, סלע רואה על המסך רק לאחר 16 שנים מתחילת המסע! מדוע? זכרו כי מבחינתו של סלע לקח לאופק 10 שנים להגיע לכוכב, אבל לשידור של רגע ההגעה לקח 6 שנים לחזור לכדור הארץ.
• מבחינתו של אופק, המסע לכוכב לקח רק 8 שנים. מדוע? כפי שהסברתי בתחילת המאמר, מי שנע במהירות הקרובה למהירות האור, יראה כיצד מרחקים מתכווצים לאורך ציר התנועה שלו. לכן מבחינת אופק, המרחק לכוכב יהיה קצר יותר ב-20%, ולא יהיה 6 שנות-אור, אלא רק 4.8 שנות אור. אם אופק נע ב- 60% ממהירות האור, אז מספיקות לו 8 שנים כדי לעבור מרחק של 4.8 שנות אור.

שאלה שניה: מה רואה כל תאום כשהוא מסתכל על השעון שלו עצמו ועל השעון של אחיו?

• מבחינתו של סלע, כאשר שעון הקיר שלו מראה 16 שנים, זה הרגע בו הוא רואה על המסך את אופק מגיע לכוכב ושעון הקיר של אופק מראה 8 שנים. לכן סלע מגיע למסקנה כי אופק צעיר יותר.
• מבחינתו של אופק, כאשר שעון הקיר שלו מראה 8 שנים, זה הרגע בו הוא הגיע לכוכב. אבל כאשר אופק מסתכל באותו רגע על המסך בחללית, הוא רואה כי השעון של סלע מראה רק 4 שנים! מדוע? אל תשכחו כי לגלי-הרדיו של השידור לוקח 6 שנים לעבור את המרחק מכדור הארץ לכוכב! לכן עוד לפני שאופק הגיע לכוכב, מכדור הארץ כבר יצא שידור של תמונת השעון של סלע 4 שנים לאחר תחילת המסע, והשידור הזה "רודף" אחרי אופק ומגיע לכוכב ביחד עם אופק! לכן אופק מגיע למסקנה כי סלע צעיר יותר.

הנה טבלה מסכמת של תצוגת השעונים של כל אחד מהתאומים לאחר החצי הראשון של המסע:

	מה מראה השעון הפרטי	מה מראה השעון שעל המסך
סלע	16	8
אופק	8	4

נעצור לרגע בנקודה זו. שימו לב כיצד העיקרון היסודי של תורת היחסות מופיע במלוא הדרו: כל אחד מהאחים חושב שהאח השני צעיר יותר פי 2! הסיבה לכך היא פשוטה: הסימטריה עדיין לא נשברה… אופק עדיין לא הסתובב חזרה לכדור הארץ. אם אופק לא היה עוצר בכוכב אלא ממשיך לנסוע, כל אחד מהאחים היה חושב שהאח השני צעיר יותר, וזה היה נמשך כל עוד אופק היה ממשיך להתרחק מכדור הארץ. לגבי השאלה מי יותר צעיר, התאומים היו נאלצים להסכים שלא להסכים. זה קצת מוזר, אבל זו המציאות לפי תורת היחסות הפרטית.

שאלה שלישית: מה מצב השעונים בסוף המסע, כאשר אופק חוזר ונפגש עם סלע?

ברגע שאופק הגיע לכוכב, הוא מסתובב וחוזר חזרה לכדור הארץ באותה מהירות בדיוק. נמשיך הלאה אם כן, ונחשוב מה קורה בחצי השני של המסע מנקודת המבט של כל תאום, ומה מראים השעונים בשעת המפגש בין התאומים.

• מבחינתו של אופק, המסע חזור לכדור הארץ אינו שונה מהמסע הלוך לכוכב. המרחק יתכווץ ב-20% ויעמוד על 4.8 שנות-אור, בדיוק כמו קודם, ולאופק יקח 8 שנים לעשות את המסע חזור. לכן ברגע שאופק מגיע לכדור הארץ, שעון הקיר שלו מראה 16 שנים.
• מבחינתו של סלע, אופק עבר מרחק כולל הלוך-חזור של 12 שנות-אור במהירות של 60% ממהירות האור, לכן אופק יחזור אחרי 20 שנים מתחילת המסע. כאשר אופק חוזר לכדור הארץ, שעון הקיר של סלע מראה 20 שנה.

הנה טבלה מסכמת של תצוגת השעונים של כל אחד מהתאומים בסוף המסע כאשר הם נפגשים:

	מה מראה השעון הפרטי	מה מראה השעון שעל המסך
סלע	20	16
אופק	16	20

ובא לציון גואל. ברגע המפגש בין האחים, סלע התבגר ב- 20 שנים, אך אופק התבגר רק ב- 16 שנים. אין להם על מה להתווכח, כי זה בדיוק מה שמראים שעוני הקיר שלהם.

הבנתם?

סיכום

אם הגעתם עד כאן, ייתכן וכל העסק נראה כמו כשל מחשבתי אחד גדול. מה הקשר בין תקתוק שעונים להזדקנות?

התשובה של איינשטיין היא כי שעונים מודדים זמן. במידה והם לא מקולקלים ולא מזייפים בגלל תקלה פנימית, אז כל מה שהם עושים זה לעקוב אחרי זרימת הזמן באמצעות תהליך מחזורי כלשהוא. אבל יש לזכור כי השעון הוא בעצמו מערכת שמבוססת על תהליכים פיזיקליים. שעון אינו יצור קסום שהגיע מעולם אחר; שעון מורכב מאטומים ומולקולות, בדיוק כמו הגוף שלנו.

אם השעון מתקתק יותר לאט, אין סיבה מדוע השעון "הגופני" שלנו לא יתקתק לאט גם הוא. במילים אחרות: כל התהליכים הפיזיקליים, הכימיים והביולוגיים בגופכם גם הם יצייתו לשינוי בזרימת הזמן, והקצב שלהם יואט (כמובן בהשוואה לקצב התהליכים בגופו של מי שלא נמצא בתנועה).⁷

בכל מקרה, פרדוקס התאומים מוכיח כי לפחות מסע בזמן לעתיד אפשרי בהחלט:

אופק נסע 4 שנים אל העתיד של כדור הארץ!

1. לאורך כל המאמר הנוכחי אני אציג את הדברים אך ורק במסגרת היחסות הפרטית. לכן מכאן והלאה, בכל מקום שאכתוב: "תורת היחסות", הכוונה תהיה אך ורק לתורת היחסות הפרטית. [↩]
2. מהירות האור היא 300 אלף ק"מ בשנייה, ולכן 60% ממהירות האור היא 180 אלף ק"מ בשנייה. אם תרוצו מרתון במהירות כל כך גבוהה, אתם תסיימו את המרתון תוך 140 מיקרו-שניות. מדובר בזמן מאוד קצר, אבל זה לא באמת משנה, כי אפשר לדמיין עולם בו הערך של מהירות האור הוא 15 קמ"ש, ובעולם כזה ריצה במהירות של 60% ממהירות האור היא ריצה במהירות של 9 קמ"ש, שהיא מהירות ריצה טיפוסית של בן אדם ממוצע. בעולם שכזה, כל התופעות המוזרות של תורת היחסות היו באות לידי ביטוי גם תוך כדי ריצה רגילה. מכל מקום, בחיי היומיום אנו לא מתקרבים בכלל למהירות האור. אפילו המהירות של תחנת החלל הבינלאומית שהיא 7.66 ק"מ לשנייה, היא רק 0.0025% ממהירות האור. [↩]
3. יש להדגיש כי מי שעומד על המדרכה ולא רץ, יראה בדיוק את אותה תופעה. במילים אחרות: אם אתם תחזיקו בידיים שעון תוך כדי ריצה, אז מי שעומד על המדרכה יראה דווקא את השעון שלכם כאילו הוא מתקתק לאט יותר, בהשוואה לשעון היד שלו. [↩]
4. כל התופעות המוזרות של יחסיות המרחב והזמן ניתן לגזור ישירות מתוך הקביעה המפורסמת של איינשטיין כי מהירות האור סופית וקבועה לכל צופה בכל מערכת ייחוס. [↩]
5. יש לשים לב כי ההסבר הנ"ל – שהתאוצה שוברת את הסימטריה – תקף לתורת היחסות הפרטית (מרחב-זמן שטוח) ורק לתרחיש שהוצג במאמר הנוכחי. אמנם, חשוב להדגיש שהשימוש בתאוצה בתור הסבר לפרדוקס אינו תקף באופן כללי, כלומר: אינו תקף לכל תרחיש של פרדוקס התאומים. ניתן לתאר את פרדוקס התאומים גם באופן אחר, למשל: שני התאומים יוצאים למסע מכדור הארץ, שניהם מאיצים בכיוונים מנוגדים ושניהם חוזרים לכדור הארץ, אלא שתאום אחד חוזר הרבה לפני התאום השני. במקרה זה, שני התאומים חווים תאוצה, לכן התאוצה לכשעצמה אינה הסיבה השורשית לפתרון הפרדוקס. בנוסף, ניתן לייצג את פרדוקס התאומים לא רק במסגרת תורת היחסות הפרטית (מרחב-זמן שטוח) אלא אף באמצעות תרחישים במסגרת תורת היחסות הכללית (מרחב-זמן עקום). לכן במקרה הכללי, זו אינה התאוצה שקובעת מי מהאחים יהיה צעיר יותר, אלא האורך של קו-העולם של כל אחד מהתאומים בתוך המרחב-זמן שהוא נע בו. כל המושגים הללו מורכבים יותר ויוסברו בפוסט נפרד. [↩]
6. מאמר מצוין בנושא עם חישוב מפורט ניתן למצוא בקישור כאן. [↩]
7. שוב יש לזכור: מדובר בתופעה יחסית. כאשר שני גופים נעים אחד ביחס לשני, כל אחד חושב שהוא במנוחה ולכן כל אחד רואה את השני כאילו הוא מאט את קצב שלו. [↩]