תרחישים שונים של פרדוקס התאומים

בפוסט כאן למדנו על פרדוקס התאומים ועל כך כי המרחק שכל תאום עובר במרחב-זמן קובע את הפרש הגילאים בין התאומים ברגע המפגש וכן מי מהם יהיה צעיר יותר. בעמוד כאן ראינו את שיטת החישוב של מרחק במרחב-זמן. להלן נציג מספר תרחישים לפרדוקס התאומים.

מרחב-זמן שטוח (תורת היחסות הפרטית)

התרחיש הקלאסי והפשוט ביותר של פרדוקס התאומים מתרחש במרחב-זמן שטוח, כזה שאין בו מסה כלל ולכן אין עקמומיות. במרחב-זמן שכזה המטריצה היא:

\(\displaystyle g=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {-1} \end{array}} \right)\)

ולכן אינטרוול המרחק יהיה:

\(\displaystyle ds=\sqrt{{{{c}^{2}}{{t}^{2}}-\left( {d{{x}^{2}}+d{{y}^{2}}+d{{z}^{2}}} \right)}}\)

דיאגרמת הזמן מרחב תיראה כך:

בתרחיש זה, תאום אחד נשאר בכדור הארץ (הקו הכחול) ותאום שני יוצא למסע וחוזר לכדור הארץ (הקו האדום). על גבי הדיאגרמה, נראה כי הקו האדום ארוך יותר מהכחול, אך בגלל סימן המינוס במשוואה של \(ds\) לעיל (לפני הסוגריים שבהם סוכמים על הקורדינטות המרחביות) נקבל כי מבחינת המרחק במרחב-זמן, דווקא הקו הכחול ארוך יותר. לכן הזמן שעובר בשעון של התאום שנשאר בכדור הארץ ארוך יותר ולכן הוא יהיה המבוגר מבין השניים.

מכאן ברור מדוע התאוצה אינה הסיבה השורשית לכך שהתאום שיוצא למסע הוא צעיר יותר. שהרי אפשר לחשוב על תרחיש שבו שני התאומים יוצאים למסע בכיוונים מנוגדים ואחד מהם חוזר לפני השני. דיאגרמת המרחב-זמן תיראה כך:

כעת שני התאומים נמצאים תחת השפעת תאוצה, ולכן גם כאן, אם המרחק במרחב-זמן של הקו הכחול יהיה גדול יותר משל הקו האדום נקבל כי התאום שחזר מוקדם יותר יהיה מבוגר יותר.

מרחב-זמן עקום (תורת היחסות הכללית)

כאשר מוסיפים נוכחות של מסה למרחב, המסה מעקמת את המרחב-זמן. נסתכל להלן על שני תרחישים שונים במרחב-זמן עקום, ונדון בהם בצורה איכותית בלבד (ללא מתמטיקה).

נניח כי לכל תאום יש חללית משלו, ושני התאומים נמצאים באותה נקודה במרחב ומסנכרנים שעונים ביניהם. תאום א' נשאר במנוחה במקום, בעוד תאום ב' נע במסלול מעגלי מושלם כך שלאחר הקפה אחת הוא חוזר לנקודת ההתחלה, ופוגש את התאום שבמנוחה.¹

תרחיש זה עדיין מתקיים במרחב-זמן שטוח, וברור כי ברגע המפגש תאום ב' שנע בתנועה מעגלית הוא הצעיר יותר, כי תרחיש זה אינו שונה מהותית מהתרחיש הקלאסי הפשוט בו תאום ב' מתרחק מכדור הארץ בקו ישר ואז חוזר חזרה. אין הבדל מהותי בין שתי התנועות הללו מבחינת התוצאה, בשני המקרים נגלה כי תאום ב' היה נתון תחת השפעת תאוצה והוא עבר מרחק קצר יותר במרחב-זמן ולכן הוא הצעיר יותר.²

תרחיש ראשון

לעומת זאת, נוכל לתאר תרחיש נוסף בו כל תאום נמצא בחללית משלו סביב כוכב בעל מסה. תאום א' נשאר במנוחה בנקודה קבועה ביחס למרכז הכוכב. ברור כי תאום א' יצטרך כל הזמן להפעיל את מנועי החללית כדי לא ליפול אל הכוכב בגלל כוח הכבידה. תאום ב' לעומת זאת, נע במסלול מעגלי סביב הכוכב.³

כעת אנו נמצאים במרחב-זמן עקום בגלל המסה של הכוכב. לפי תורת היחסות הכללית, במרחב-זמן עקום דווקא תאום ב' אינו נתון תחת השפעת תאוצה כי הוא נמצא כל הזמן במצב של נפילה חופשית, למעשה הוא אינו צריך להשתמש בכלל במנועי החללית. אמנם הוא נע במסלול מעגלי, אך במרחב-זמן עקום ללא השפעת כוח חיצוני שאינו כבידה, תנועה מעגלית היא למעשה תנועה "בקו ישר".⁴ לעומת זאת, תאום א' נמצא בתאוצה כי הוא חייב להפעיל כל הזמן את מנועי החללית כדי לא ליפול אל הכוכב. כלומר, הוא נתון תחת השפעת כוח חיצוני שאינו כבידה, ולכן הוא אינו נע במרחב-זמן עקום "בקו ישר".

בתרחיש זה ניתן להראות כי תאום ב' הוא הצעיר אף על פי שהוא לא היה נתון תחת השפעת תאוצה. תאום א' יהיה המבוגר למרות שהוא כן היה נתון תחת השפעת תאוצה. זו דוגמה לכך שהתאוצה אינה זו שקובעת באופן בלעדי מי מהתאומים יהיה מבוגר ומי צעיר, מה שקובע זה המרחק שכל תאום עבר במרחב-זמן. בתרחיש זה, תאום ב' עבר מרחק קצר יותר במרחב-זמן לכן הוא הצעיר. חישוב של המרחקים שכל אחד מהתאומים עבר בתרחיש זה ניתן למצוא בקישור כאן.⁵

תרחיש שני

גם בתרחיש זה כל תאום נמצא בחללית משלו סביב כוכב בעל מסה. תאום א' נשאר במנוחה בנקודה קבועה ביחס למרכז הכוכב. גם כאן, ברור כי תאום א' יצטרך כל הזמן להפעיל את מנועי החללית כדי לא ליפול אל הכוכב בגלל כוח הכבידה. תאום ב' לעומת זאת, נזרק לחלל כלפי חוץ כמו אבן, והוא מתרחק מהכוכב עוד ועוד עד שהוא עוצר ובהשפעת הכבידה צונח חזרה אל הכוכב.⁶

גם כאן אנו נמצאים במרחב-זמן עקום בגלל המסה של הכוכב. שוב, תאום ב' אינו נתון תחת השפעת תאוצה כי הוא נמצא כל הזמן במצב של נפילה חופשית, והוא אינו משתמש כלל מנועי החללית. הוא נע בקו ישר, מתרחק מהכוכב ואז נופל אליו שוב, אך הוא אינו נתון תחת השפעת כוח חיצוני. לעומת זאת, כמו בתרחיש הראשון, תאום א' נמצא בתאוצה כי הוא חייב להפעיל כל הזמן את מנועי החללית כדי לא ליפול אל הכוכב. כלומר, הוא נתון תחת השפעת כוח חיצוני שאינו כבידה, ולכן הוא אינו נע במרחב-זמן עקום "בקו ישר".

בתרחיש זה המצב מתהפך: תאום ב' הוא המבוגר ותאום א' יהיה הצעיר, ומה שקובע זה המרחק שכל תאום עבר במרחב-זמן, ולאו דווקא מי היה נתון תחת השפעת תאוצה: תאום ב' עבר מרחק גדול יותר במרחב-זמן לכן הוא המבוגר. חישוב של המרחקים שכל אחד מהתאומים עבר בתרחיש זה ניתן למצוא בקישור כאן.⁷

1. נוכל להניח כי תאום ב' כבר היה במסלול מעגלי וברגע מסוים שני התאומים עוברים אחד ליד השני ומסנכרנים ביניהם שעונים. זו למעשה נקודת ההתחלה של התרחיש. לאחר הסנכרון, תאום ב' פשוט ממשיך במסלול שכבר היה נתון בו, ולאחר הקפה אחת עובר שוב ליד תאום א' והם משווים שעונים. הנחה זו תהיה נכונה גם עבור שני התרחישים הבאים. [↩]
2. במרחב-זמן שטוח, תאום א' נמצא במנוחה ולא מאיץ, אך תאום ב' חייב להאיץ כדי לנוע במסלול מעגלי. ללא תאוצה, תנועה במרחב-זמן שטוח היא תנועה בקו ישר פשוט. [↩]
3. גם כאן, בתחילת המסע ובסופו התאומים עוברים אחד ליד השני. בתחילת המסע הם מסנכרנים שעונים ובסופו משווים ביניהם. [↩]
4. לפי תורת היחסות הכללית, גופים שנמצאים רק תחת השפעת הכבידה, נעים למעשה "בקווים ישרים" במרחב-זמן עקום. אלו נקראים קווים גיאודזים ומדובר בהכללה של המושג "קו ישר" גם למרחבים עקומים לא-אוקלידים. במרחב אוקלידי שטוח, שני קווים ישרים מקבילים לא יכולים להיפגש, אך במרחב עקום, גם קווים ישרים מקבילים יכולים להיפגש, כמו קווי אורך על כדור הארץ, שמקבילים זה לזה על קו המשווה אך נפגשים בקטבים. [↩]
5. Adding to the paradox: the accelerated twin is older, M. A. Abramowicz and S. Bajtlik, arXiv:0905.2428 [↩]
6. גם בתרחיש זה, בתחילת המסע ובסופו התאומים עוברים אחד ליד השני. בתחילת המסע הם מסנכרנים שעונים ובסופו משווים ביניהם. [↩]
7. The twin paradox in a cosmological context, O. Gron and S. Braeck, arXiv:0909.5364 [↩]