תוחלת חיים על פי העיקרון הקופרניקאי

בפוסט כאן למדנו על העיקרון הקופרניקני וכיצד בעזרתו ניתן לחשב את תוחלת החיים של אובייקט כלשהוא, בהנחה שאנו לא צופים בו מתוך נקודת זמן מיוחדת, כלומר אנו צופים בו מנקודת זמן שאינה ברגעים הראשונים או האחרונים לקיומו. להלן נפרט את החישוב המדויק.

נניח כי אובייקט מסוים התקיים החל מזמן \({{t}_{{begin}}}\) ועד זמן \({{t}_{{end}}}\), ואנו צופים בו בזמן \({{t}_{{now}}}\) שנמצא היכן שהוא באמצע:

\({{t}_{{begin}}}<{{t}_{{now}}}<{{t}_{{end}}}\)

במידה ואין שום דבר מיוחד ברגע הצפייה שלנו \({{t}_{{now}}}\), אז נצפה כי המיקום של \({{t}_{{now}}}\) יתפלג באופן רנדומלי בטווח שבין \({{t}_{{begin}}}\) לבין \({{t}_{{end}}}\).

נגדיר את משך הזמן שבו האובייקט כבר קיים:

\({{t}_{{past}}}={{t}_{{now}}}-{{t}_{{begin}}}\)

וכן נגדיר את משך הזמן שעוד נותר לאובייקט להתקיים:

\({{t}_{{future}}}={{t}_{{end}}}-{{t}_{{now}}}\)

נגדיר מספר \(r\) המתפלג רנדומלית בין 0 ל-1, ולכן הוא יהיה היחס בין הזמן שהאובייקט כבר קיים לבין הזמן הכולל שבו האובייקט התקיים:

\(\displaystyle r=\frac{{{{t}_{{past}}}}}{{{{t}_{{end}}}-{{t}_{{begin}}}}}\)

כעת נגדיר מספר \(P\) המייצג את מידת הוודאות שלנו, למשל: וודאות של 90% היא: \({P=0.9}\), וודאות של 95% היא: \({P=0.95}\), וכן הלאה. למעשה, \(P\) הוא פרמטר שאנחנו בוחרים.

לכן יש הסתברות של \(P\) כי הפרמטר \(r\) יהיה בין:

\(\displaystyle \frac{{1-P}}{2}<r<\frac{{P+1}}{2}\)

לדוגמא: אם \({P=0.95}\) אז נקבל: \({0.025<r<0.975}\), או למשל אם \({P=0.9}\) אז נקבל: \({0.05<r<0.95}\), וכן הלאה.

נציב את הפרמטר \(r\) כפי שהוגדר לעיל ונקבל:

\(\displaystyle\frac{{1-P}}{2}<\frac{{{{t}_{{past}}}}}{{{{t}_{{end}}}-{{t}_{{begin}}}}}<\frac{{P+1}}{2}\)

נציב \({{t}_{{end}}}={{t}_{{future}}}+{{t}_{{now}}}\) ונקבל:

\(\displaystyle \frac{{1-P}}{2}<\frac{{{{t}_{{past}}}}}{{{{t}_{{future}}}+{{t}_{{now}}}-{{t}_{{begin}}}}}<\frac{{P+1}}{2}\)

נציב \({{t}_{{past}}}={{t}_{{now}}}-{{t}_{{begin}}}\) ונקבל:

\(\displaystyle \frac{{1-P}}{2}<\frac{{{{t}_{{past}}}}}{{{{t}_{{future}}}+{{t}_{{past}}}}}<\frac{{P+1}}{2}\)

את אי-השוויון הנ"ל נוכל לפצל לשניים:

\(\displaystyle {{t}_{{past}}}<\frac{{P+1}}{2}\cdot \left( {{{t}_{{future}}}+{{t}_{{past}}}} \right)\)

\(\displaystyle {{t}_{{past}}}>\frac{{1-P}}{2}\cdot \left( {{{t}_{{future}}}+{{t}_{{past}}}} \right)\)

נבודד את \({{t}_{{future}}}\) ונקבל:

\(\displaystyle {{t}_{{future}}}>\frac{{1-P}}{{1+P}}\cdot{{t}_{{past}}}\)

\(\displaystyle {{t}_{{future}}}<\frac{{1+P}}{{1-P}}\cdot{{t}_{{past}}}\)

נסתכל על מספר דוגמאות. אם \({P=0.95}\) אז:

\(\displaystyle \frac{1}{{39}}{{t}_{{past}}}<{{t}_{{future}}}<39{{t}_{{past}}}\)

אם \({P=0.5}\) אז:

\(\displaystyle \frac{1}{{3}}{{t}_{{past}}}<{{t}_{{future}}}<3{{t}_{{past}}}\)

בפוסט כאן בחרנו וודאות של 90%, לכן \({P=0.9}\), ומכאן נקבל:

\(\displaystyle \frac{1}{{19}}{{t}_{{past}}}<{{t}_{{future}}}<19{{t}_{{past}}}\)

שימו לב כי הזמן \({{t}_{{future}}}\) הוא הזמן שנותר לאובייקט להתקיים החל מהזמן הנוכחי \({{t}_{{now}}}\), בעוד שבפוסט התייחסנו לזמן הכולל שבו האובייקט קיים, כלומר: \({{t}_{{end}}}-{{t}_{{begin}}}\).