משוואת דעיכה רדיואקטיבית

בפוסט כאן למדנו כיצד ניתן לתארך אובייקטים באמצעות דעיכה רדיואקטיבית של פחמן-14. להלן נראה כיצד ניתן לגזור את המשוואה לחישוב גיל האובייקט הנמדד.

כאשר נתונה כמות התחלתית \({{N}_{0}}\) של גרעיני פחמן-14 שאינו יציב, אז הדעיכה הרדיואקטיבית מתרחשת באופן אקספוננציאלי:

\(\displaystyle N={{N}_{0}}{{e}^{{-kT}}}\)

כאשר \(N\) זה מספר גרעיני פחמן-14 לאחר זמן \(T\) ו- \(k\) זה קצב הדעיכה.

בשלב הראשון ננסה למצוא את הקשר בין \(k\) לבין זמן מחצית החיים \({{T}_{{1/2}}}\) שהוא הזמן שלאחריו הכמות ההתחלתית של הגרעינים יורדת בחצי. נציב במשוואה ונקבל:

\(\displaystyle N=\frac{1}{2}{{N}_{0}}={{N}_{0}}{{e}^{{-k{{T}_{{1/2}}}}}}\)

נבודד את \(k\) ונקבל:

\(\displaystyle k=\frac{{\ln 2}}{{{{T}_{{1/2}}}}}\)

נציב את \(k\) במשוואת הדעיכה המקורית ונקבל:

\(\displaystyle N={{N}_{0}}{{e}^{{-\frac{{\ln 2}}{{{{T}_{{1/2}}}}}\cdot T}}}\)

נבודד את \(T\) ונקבל:

\(\displaystyle T=\frac{1}{{\ln 2}}\cdot \ln \left( {\frac{{{{N}_{0}}}}{N}} \right)\cdot {{T}_{{1/2}}}\)

כמו כן, את היחס בין כמות הגרעינים ההתחלתית והסופית של פחמן-14 נוכל להמיר ליחס בין פחמן-14 לפחמן-12 באטמוספרה ובאובייקט. אפשר לחלק ולהכפיל את הביטוי \({{N}_{0}}/N\) ב- \({{N}_{C12}}\), שזה מציין את כמות גרעיני הפחמן-12 היציב, וכמות זו לא השתנתה במשך הזמן. לכן:

\(\displaystyle \frac{{{{N}_{0}}}}{N}=\frac{{{{N}_{0}}}}{{{{N}_{{C12}}}}}\cdot \frac{{{{N}_{{C12}}}}}{N}=\frac{{{{R}_{{atm}}}}}{{{{R}_{{now}}}}}\)

כאשר \({{R}_{atm}}\) זה יחס הפחמן באטמוספרה ו- \({{R}_{now}}\) זה יחס הפחמן באובייקט הנמדד. לכן נקבל:

\(\displaystyle T=\frac{1}{{\ln 2}}\cdot \ln \left( {\frac{{{{R}_{{atm}}}}}{{{{R}_{{now}}}}}} \right)\cdot {{T}_{{1/2}}}\)

וזו משוואת הדעיכה.