יחסות לאובדי עצות, חלק ו': החלקיק שמסרב למות

מאז שהתחלנו ללמוד על תורת היחסות, נעזרנו לא מעט בניסויי מחשבה: רכבות שנוסעות בתוך מנהרות במהירות בלתי אפשרית, מכוניות שמאיצות כמעט עד למהירות האור, ואנשים שמנסים להסתכל דרך חלון מכונית דמיונית בזמן שהעולם סביבם נמרח ומתעוות כמו שעווה מחוממת.

ניסויי מחשבה כאלה הם כלי נהדר – הם מאפשרים לנו לתפוס רעיונות מופשטים, לחדד אינטואיציות, ולדמיין מצבים שבלתי אפשרי לייצר במציאות. אבל יש להם גם חסרון בולט: הם רק ניסויי מחשבה. הם נמצאים בתוך עולם של "כאילו": שום דבר לא מתרחש בפועל בעולם הממשי.

לכן בשלב מסוים, תמיד נגיע אל השאלה המתבקשת:

הכל טוב ויפה על הנייר, אבל איפה כל זה קורה באמת? איפה בטבע הממשי ניתן לפגוש את כל התופעות שעליהם למדנו בניסויי המחשבה, בלי דמיון ובלי משחקי מילים?

במאמר הנוכחי אספק לכם תשובה חד משמעית על השאלה הנ"ל, והתשובה תגיע לא ממאיצי חלקיקים ולא ממעבדה עתירת־תקציב, אלא מעל הראש שלנו ממש, בתהליך מדיד ומוחשי המתרחש 24 שעות ביממה ללא הפסק. הגיבור הראשי של הסיפור להלן יהיה חלקיק אקזוטי הנקרא: מְיוּאוֹן (Muon).

להלן אתאר לכם כיצד החלקיק הזה מתאר את הרגע בו אנו מפסיקים עם כל משחקי המילים ונפנופי ידיים – ומקבלים אישור מהטבע עצמו. האטת זמן, כיווץ אורך, סימטריה בין מערכות ייחוס – כל העקרונות שעליהם למדנו עד עכשיו כאילו היו סיפורים מארץ הפיות של המתמטיקה, כעת מתגלים כמציאות פיזיקלית מוצקה לחלוטין.

אוקיי, בואו נתחיל.

האח הגדול

לפני שנצלול לעומק הסיפור, תזכורת קצרה לעיקרון הבסיסי ביותר של תורת היחסות, והוא:

חוקי הפיזיקה זהים בכל מערכת ייחוס אינרציאלית.

דיברנו על כך בהרחבה במאמרים הקודמים, וכזכור: הדגשנו כי עיקרון זה לא מאפשר לנו לקבוע באופן אבסולוטי מי נמצא בתנועה "באמת" ומי נמצא במנוחה "באמת", כי הכל יחסי; אם אתם נמצאים בתוך מטוס עם חלונות סגורים ומנוע שקט, אין לכם דרך לדעת אם אתם עדיין על מסלול ההמראה או שאתם כבר באוויר ונעים במהירות שיוט של 900 קמ"ש. אין שום ניסוי פנימי שתוכלו לעשות בתוך המטוס כדי לקבוע מה מצבכם.

זכרו פעם נוספת את העיקרון הנ"ל לפני שניגש לסיפור שלנו על חלקיק המיואון, כי הסיפור שוב יחייב אותנו להתבונן על אותה תופעה משתי מערכות ייחוס שונות.

אז מהו אותו חלקיק הנקרא מיואון?

מדובר בחלקיק יסודי ממשפחה ענפה של חלקיקים הנקראים: לֵפְּטוֹנִים. לא ממש משנה כרגע מה מקור השם המוזר הזה; כל מה שחשוב לזכור הוא שמדובר באותה משפחה שאליה משתייך החלקיק המוכר והידוע: האֵלֶקְטְרוֹן. בגדול, ניתן לחשוב על המיואון כמו אחיו הגדול של האלקטרון:

• מבחינת המטען החשמלי: למיואון ולאלקטרון יש מטען חשמלי שלילי זהה בגודלו.
• מבחינת המסה: המיואון כבד יותר, פי 207 בערך בהשוואה למסה של האלקטרון.

לכן בשורה התחתונה: המיואון הוא סוג של אלקטון כבד. אמנם, יש תכונה נוספת שהיא זו שעושה את כל ההבדל בין שני החלקיקים: המיואון – בניגוד לאלקטרון – הוא חלקיק לא יציב. כלומר: זמן החיים שלו די קצר, והוא מתפרק די מהר. כשאני אומר: "מתפרק", הכוונה היא שהמיואון מפסיק להתקיים, והוא עובר טרנספורמציה לחלקיקים אחרים.¹

אוקיי, אז כמה זמן חי לו המיואון מהרגע שנוצר ועד שמת? התשובה היא: 2.2 מיקרו-שניות, כלומר: 2.2 מיליוניות השניה.² זהו זמן די קצר, ותיכף תבינו בהשוואה למה בדיוק הזמן הנ"ל נחשב לקצר.

חלקיק יקר, איך הגעת לכאן?

השלב הבא בסיפור שלנו, הוא להבין איך וכיצד נוצרים מיואונים בטבע שסביבנו.

הכל מתחיל אי שם למעלה: החלל שמחוץ לכדור הארץ מלא בקרינה קוסמית. קרינה זו היא למעשה שטף של חלקיקים עתירי־אנרגיה שמגיעים אלינו מכל רחבי הגלקסיה, רובם של החלקיקים הנ"ל הם פרוטונים.³ חלק מהם נוצרים על ידי השמש שלנו, חלק על ידי סופרנובות (אלו כוכבים המסיימים את חייהם בפיצוץ אדיר), והשאר נוצרים ע"י שלל תהליכים קוסמיים נוספים.

כאשר הקרינה הקוסמית הזו פוגעת בשכבה העליונה של אטמוספרת כדור הארץ, היא מתנגשת בעוצמה באטומי החמצן והחנקן שבאטמוספרה. ההתנגשות הנ"ל מתרחשת בגובה רב, בערך 15 עד 20 ק"מ מעל פני הקרקע. מדובר בהתנגשות אלימה במיוחד, התנגשות שקורעת לגזרים את אטומי החנקן והחמצן, ואחד מתוצרי ההתנגשות הזו הוא מיודענו חלקיק המיואון.⁴ פרט חשוב נוסף שיש לדעת על המיואונים הוא שלאחר יצירתם, חלקיקים אלה נעים כלפי כדור הארץ במהירות מטורפת של בערך 99.5% ממהירות האור בממוצע.

מכל מה שסיפרתי לכם עד עכשיו, ניתן להגיע למסקנה מאוד פשוטה:

אף מיואון אחד לא אמור להגיע לקרקע של כדור הארץ.

אם זה נשמע לכם מוזר, אתם בסה"כ צריכים לעשות חישוב פשוט: אם זמן החיים של המיואון הוא \({t=2.2}\) מיליוניות השניה, אז המיואון יעבור מרחק של כ- \({x=650}\) מטר בערך ולא יותר, אפילו שהמיואון נע במהירות \({v}\) של 99.5% ממהירות האור \({c}\) השווה ל- 299,792,458 מטר לשניה:

\(\displaystyle {x=v\cdot t=99.5\%\cdot c\cdot t=}\)

\(\displaystyle {=0.995\cdot 299792458\cdot 2.2\cdot {{10}^{{-6}}}=650}\)

סבבה, אז אף מיואון לא אמור להגיע לקרקע, איפה בדיוק הבעיה?

ובכן, הבעיה מתחילה כאשר באופן מפתיע, אנו מגלים שמיואונים דווקא כן מגיעים לקרקע, והרבה. אני מתכוון, ה-ר-ב-ה יותר ממה שהיינו מצפים!⁵

אבל איך זה ייתכן? הפער הרי עצום! איך יכול להיות שחלקיקי המיואונים מצליחים לעבור מרחק כל כך גדול (15 ק"מ) אם זמן החיים שלהם כל כך קצר (2.2 מיקרו-שניות), זמן שאמור להספיק למעבר של כמה מאות מטרים לכל היותר? לכאורה, אין להם מספיק זמן להגיע לקרקע, למרות המהירות המטורפת שלהם … ובכל זאת, הם כן מגיעים.

בשלב זה אני מניח כי בטח כבר ניחשתם: פה בדיוק נכנסת לתמונה תורת היחסות, שמצליחה להסביר את התופעה הפרדוקסלית הנ"ל באופן מלא. כיצד?

ובכן, כדרכנו בקודש, בואו וננסה להסתכל על התופעה משתי נקודות מבט שונות. נתחיל מנקודת המבט שלנו, כלומר: מה אנחנו – הצופים הנמצאים במנוחה על הקרקע – רואים כאשר המיואון טס לעברנו במהירות עצומה.

כל אחד והאמת שלו

כזכור, כאשר מערכת נעה במהירות גבוהה ביחס אלינו, כל התהליכים בתוכה נראים לנו כאילו הם מתנהלים לאט יותר. במילה "תהליכים" אני מתכוון להכל כולל הכל: תקתוקי שעון, תהליכים כימיים, תהליכים ביולוגיים, ובמקרה הזה: גם תהליך ההתפרקות של חלקיקים. בקיצור: כל מה שמשתנה בזמן במערכת, נראה לנו כמשתנה יותר לאט.

כל זה תופס גם לגבי המיואונים: הם נעים במהירות מטורפת של 99.5% ממהירות האור, ולכן מבחינתנו – כל התהליכים הרלוונטים לגביהם מואטים בצורה מטורפת! כלומר: זמן החיים של המיואון מתארך ונמתח, והמיואון הופך להיות סוג של מתושלח … במקום למות מהר, הוא מאריך ימים ומתפרק לאחר המון זמן! במילים פשוטות:

1. מבחינתנו, השעון הפנימי של המיואון מתקתק יותר לאט. זו תופעת האטת הזמן (Time dilation) שעליה דיברנו במאמרים קודמים.
2. עקב כך, זמן החיים של המיואון מתארך, והוא מתפרק לאחר זמן רב יותר.
3. בהינתן זמן החיים המוגבר של המיואון, נוצר מצב בו המיואון דווקא כן מספיק לחצות את המרחק הגדול ולהגיע לקרקע לפני שהוא מתפרק.⁶

אוקיי, הכל טוב ויפה מנקודת המבט שלנו, אבל מה קורה מנקודת מבטו של המיואון עצמו?

אם תשאלו את המיואון, הוא יגיד לכם שדווקא הוא זה שנמצא במנוחה, והקרקע היא זו ששועטת כלפיו במהירות עצומה. זכרו את מה שכבר הדגשנו מספר פעמים בעבר: אי אפשר לקבוע באופן אבסולוטי מי נמצא במנוחה ומי בתנועה, ולכן מבחינת המיואון – הוא זה שנמצא במנוחה ולכן השעון שלו – מנקודת מבטו – מתקתק בקצב נורמלי לחלוטין. במילים פשוטות: כל אובייקט תמיד נמצא במנוחה ביחס לעצמו, ולכן המיואון לא חושב שהוא “נע מהר”. מבחינתו זמן החיים שלו נשאר 2.2 מיקרו-שניות. הכל כרגיל.

אז איך הוא בכל זאת מצליח לעבור את המרחק העצום עד הקרקע?

שוב אנו נזקקים לתורת היחסות, וכאן נכנסת לפעולה התופעה הנוספת שהצגנו במאמרים קודמים, והיא: התכווצות האורך (Length contraction).

מה זה אומר במקרה שלנו? זה אומר שהמיואון חי את חייו בקצב רגיל, אבל מבחינתו דווקא המרחק לקרקע הוא זה שהתקצר. למעשה – מבחינתו של המיואון – המרחק לקרקע התקצר בדיוק באותה מידה כמו שזמן החיים שלו התארך מבחינתנו.

זאת אומרת שאם מנקודת המבט שלנו הבעיה הייתה: “איך חלקיק עם אורך חיים כזה קצר מגיע בכלל לקרקע?”, אז מנקודת מבטו של המיואון השאלה נשמעת מוזרה: למה שלא אגיע? הרי מדובר בדרך מאוד קצרה… המיואון לא יודע על האטת הזמן, הוא פשוט עושה את המסע שלו בתוך אטמוספרה שנראית הרבה יותר דקה.

וכמו תמיד בתורת היחסות: שני הצדדים צודקים בו־זמנית.

סיכום

אז מה היה לנו?

במאמרים הקודמים הצגנו את אקסיומות תורת היחסות של איינשטיין, ולמדנו על ההשלכות של תורה זו באמצעות ניסויי מחשבה. במאמר הנוכחי קיבלנו סוף סוף את מה שכל פיזיקאי חולם להראות: דוגמה מוחשית מהטבע שסביבנו.

המיואונים שהקוסמוס מייצר גבוה באטמוספירה סיפקו לנו הוכחה מושלמת לכך. ללא תורת היחסות, לא היינו מצליחים להסביר את התופעה: זמן החיים שלהם קצר מדי, המרחק שהם צריכים לעבור גדול מדי – ולכן הם לא אמורים להגיע לקרקע. ובכל זאת הם כן מגיעים, ובכמויות שניתן למדוד בקלות.

ההסבר שתארנו נשען על שתי תופעות פיזיקליות ממשיות: האטת הזמן ו־התקצרות האורך – שתי אבני יסוד של תורת היחסות, שתמיד נראו כאילו שייכות לעולם מתמטי מופשט, אך כעת ברור שמדובר בתופעות אמיתיות שמתרחשות בגובה של כמה עשרות קילומטרים מעלינו, בכל רגע.

אך למרות שאלה תופעות ממשיות, מכל מקום לא קיימת “מציאות אבסולוטית” שבה אנו יכולים לקבוע באופן נחרץ מה קרה באמת: האם הזמן התארך או המרחק התקצר. הכל תלוי במערכת הייחוס.

1. המיואון נחשב כחלקיק יסודי, כלומר: אין לו מבנה פנימי והוא לא מורכב מחלקיקים קטנים יותר שנמצאים בתוכו. עובדה זו אינה סותרת את העובדה שהמיואון בסופו של דבר כן מתפרק לחלקיקים אחרים. הסיבה היא שהמילה "התפרקות" היא קצת מטעה, ובדרך כלל נוהגים להשתמש במילה "דעיכה". במילים אחרות: המיואון לא מתפצל לחלקיקים שקודם לכן היו בתוכו, אלא המיואון למעשה עובר טרנספורמציה ומשתנה והופך לחלקיקים אחרים, במקרה שלנו המיואון דועך לאלקטרון ושני חלקיקי נוטרינו. כל זאת בניגוד לחלקיק כמו פרוטון למשל, שהוא לא חלקיק יסודי, אלא הוא מורכב מקווארקים, שהם חלקיקים קטנים יותר שנמצאים בתוך הפרוטון ממש. [↩]
2. בדרך כלל הזמן הטיפוסי שבו חלקיק מתפרק נקרא זמן מחצית החיים (half life time). זמן מחצית החיים הוא הזמן שלוקח לכמות התחלתית של חלקיקים להתפרק כך שנשאר רק חצי מהכמות ההתחלתית. תהליך ההתפרקות מציית לפונקציה אקספוננציאלית, ולכן בהינתן זמן מחצית החיים ניתן לחשב גם זמן חיים ממוצע (mean lifetime) של החלקיקים, כלומר: מהו הזמן הממוצע שבו כל החלקיקים יתפרקו, למרות שיש חלקיקים שמתפרקים מוקדם יותר ויש חלקיקים במתפרקים מאוחר יותר. הקשר המתמטי בין שני זמנים אלה הוא פשוט ושווה ל-1.44 בערך, כלומר זמן החיים הממוצע גדול פי 1.44 מזמן מחצית החיים. [↩]
3. וגם קצת גרעינים של אטומי הליום [↩]
4. כאשר חלקיקי הקרינה הקוסמית פוגעים באטומי החנקן והחמצן באטמוספרה, המיואונים נוצרים בתהליך רב שלבי. בשלב הראשון נוצרים חלקיקים מסוג פיונים וקאונים. פיון או קאון הוא חלקיק שמורכב מקווארק ואנטי-קווארק, וחלקיק פיון\קאון יכול להיות בעל מטען חשמלי חיובי או שלילי או ניטרלי, תלוי בהרכב הקווארקים של הפיון\קאון. הפיונים והקאונים הם עצמם חלקיקים לא יציבים והם מתפרקים למיואונים. [↩]
5. כדי לקבל המחשה לכמות שהיינו מצפים לה, אפשר להסתכל על זמן מחצית החיים של מיואון, השווה ל-1.56 מיקרו-שניות. במשך זמן זה, מיואון הנע במהירות של 99.5% ממהירות האור יעבור מרחק של כ-465 מטרים. אם המרחק הכולל לקרקע הוא 15 ק"מ, אז המיואון צריך לעבור 465 מטרים 32 פעמים, לכן עד שכמות התחלתית של מיואונים הנוצרת באטמוספרה תגיע לקרקע היא תעבור 32 מחזורי חצי חיים. לאחר 32 מחזורים שכאלה הכמות ההתחלתית תקטן פי: 32^(1/2)=0.00000000023, כלומר בערך מיואון אחד לכל 4.3 מיליארד מיואונים התחלתיים. כפי שנראה בהמשך, כמות המיואונים הנמדדת על הקרקע גדולה במספר סדרי גודל. [↩]
6. במהירות של 99.5% ממהירות האור, הזמן מואט בפקטור 10, ולכן זמן מחצית החיים של המיואון הוא 15.6 מיקרו-שניות. בזמן זה המיואון עובר 4650 מטרים, ולכן כדי להגיע לקרקע לאחר מרחק של 15 ק"מ האוכלוסיה ההתחלתית של המיואונים עוברת 3.2 מחזורי חצי חיים. לאחר 3.2 מחזורים שכאלה הכמות ההתחלתית תקטן פי: 3.2^(1/2)=0.11, כלומר 11% מאוכלוסית המיואונים ההתחלתית צפויה להגיע לקרקע. [↩]