בעיות פֵרְמִי: איך לפתור בעיות עם מידע מוגבל

לאחר שסיימתי את לימודי באוניברסיטה, יצאתי לנסות את מזלי בתעשיית ההיי-טק. שלחתי קורות חיים לחברת השמה ובהתרגשות רבה התייצבתי לראיונות עבודה.

אחד מראיונות אלו זכור לי במיוחד. לאחר הפתיחה הרגילה שבה אני מספר על עצמי והמראיין מספר על החברה, הריאיון עבר לשלב המקצועי. ואז המראיין שאל את השאלה הבאה:

כמה דגים יש בים?

כמובן שלא ידעתי את המספר המדויק, אבל כן ידעתי מהי התשובה הנכונה. כיצד?

למזלי, ידעתי כי שאלות מסוג זה נקראות: 'בעיות פרמי' (Fermi problems), ובשאלות שכאלה (בניגוד לשאלות בסגנון 'אמריקאי'), לא מקבלים ניקוד על התשובה הסופית אלא מקבלים ניקוד על הדרך.

אז מהם בעצם 'בעיות פרמי' ומה מאפיין אותם?

אנריקו פרמי

ראשית יש לדעת, כי בעיות מסוג זה נקראות על שם הפיסיקאי האיטלקי-אמריקאי אנריקו פרמי, אשר זכה בפרס נובל בפיסיקה לשנת 1938 על עבודתו בתחום הפיסיקה הגרעינית. פרמי היה פיסיקאי מזן יחסית נדיר: הוא הצטיין בפיסיקה תיאורטית ובפיסיקה ניסיונית גם יחד. על פי רוב, פיסיקאים מגלים כישרון לתחום אחד בלבד:

1. פיסיקה תיאורטית: בה הפיסיקאי מנסה להכליל ולהרחיב את הידע הקיים באמצעות מודלים מתמטיים.
2. פיסיקה ניסיונית: בה הפיסיקאי מנסה לבחון את המודלים הקיימים, לאשש או להפריך אותם, ועל הדרך גם לגלות תופעות חדשות.

דוגמה קלאסית לפיסיקה ניסיונית אלו הניסויים המפורסמים שערך גלילאו גליליי (1564-1642) על התנועה של גופים. ניסויים אלו הפריכו את מודל התנועה המקובל עד אז, המודל של אריסטו, והכינו את הקרקע לפיתוח התורה של אייזק ניוטון (1643-1727) הנמצאת בשימוש עד היום.¹

החלוקה האמורה לעיל, בין פיסיקה תיאורטית וניסיונית, קיימת ונפוצה גם במדע המודרני. אלברט איינשטיין, למשל, היה תיאורטיקן 'טהור'. איינשטיין פיתח את תורת היחסות הכללית כמודל מתמטי-גיאומטרי של הכבידה, אך הוא עצמו לא ערך ניסוי אחד מימיו, ככל הנראה. ניתן לומר כי אילו איינשטיין היה נכנס למעבדה, סביר להניח שלא היה מוצא את ידיו ורגליו ולא היה מצליח לחבר את התקע לשקע.

גם הפיסיקאי וולפגנג פאולי (מחלוצי המכניקה הקוונטית וחתן פרס נובל לשנת 1945) היה כל כך גרוע בתפעול מכשור מדידה, שעמיתיו היו מתבדחים על חשבונו ואומרים שאם הניסוי השתבש זה בטח בגלל שפאולי בסביבה.

מן הצד השני, פיסיקאים כגון: וילהלם רנטגן, מארי קירי וארנסט רתרפורד זכו לתהילת עולם בזכות התוצאות המעשיות שהם קיבלו מתוך הניסויים שערכו במעבדה והתופעות החדשות שהם גילו בדרך.

בחזרה לאנריקו פרמי. לא רק שהוא הצטיין בשני תחומים אלו גם יחד, בנוסף לכך היה לו כישרון יוצא דופן לפתור בעיות שנראות – במבט ראשון – קשות מאוד לפתרון. הקושי העיקרי בבעיות אלו היה בכך שכפי הנראה, לא נתון מספיק מידע שבעזרתו ניתן בכלל להתחיל לתקוף את הבעיה. אך פרמי, בעזרת מספר הנחות פשוטות, קצת ניחוש מושכל ופעולות חישוב בסיסיות, היה מצליח להעריך בקירוב טוב את התוצאה.

אומרים שדוגמה אחת טובה שווה אלף מילים, אז להלן דוגמה לבעיית פרמי קלאסית.

כמה מכווני פסנתרים יש בשיקגו?

חלום ילדותכם הוא לפתוח בעיר שיקגו חנות לממכר ציוד לכיוון פסנתרים. הלקוחות שלכם יהיו כמובן בעלי מקצוע המתמחים בכיוון פסנתרים (מקצוע מכובד ומאוד מוערך, באמת מדובר בטכניקה לא פשוטה). לאחר בדיקה מדוקדקת גיליתם שאין אף חנות שכזו בעיר, לכן ההזדמנות מאוד קורצת לכם. מיד ניסחתם תכנית עסקית, התחשבתם בהכנסות ובהוצאות הצפויות, וגיליתם שלעסק שלכם דרושים לפחות 10,000 לקוחות פוטנציאליים כדי להחזיק מעמד לאורך זמן. כעת אתם צריכים להתמודד עם שאלת מיליון הדולר: כמה מכווני פסנתרים יש בשיקגו בפועל? הרי אלו יהיו הלקוחות שלכם!

במבט ראשון, נראה שאין דרך לדעת ללא בדיקה מדוקדקת וטרחנית במדריך בעלי המקצוע של שיקגו. גם ניחוש אקראי לא עוזר: אולי יש אחד בלבד? אולי מאה? אולי עשרת אלפים? מי יודע, הרי בשיקגו יש מיליוני תושבים, כל אחת מהאפשרויות נראית סבירה במבט ראשון.

אך למרבה ההפתעה, ניתן להגיע לאומדן סביר של התוצאה אם מזהים מהם הפרמטרים שבהם הבעיה תלויה ואלו ערכים סבירים שניתן לייחס להם. לדוגמה:

1. ידוע כי בשיקגו יש כ- 3 מיליון תושבים.
2. אם ממוצע הנפשות במשפחה הוא 4, אז בשיקגו יש שלושת רבעי מיליון משפחות.
3. כעת נניח כי לכל משפחה עשירית יש פסנתר אחד שדורש כיוון פעם אחת בשנה בממוצע, וקיבלנו כי במשך שנה יש לבצע 75,000 כיווני פסנתרים בשיקגו.
4. כעת נניח כי מכוון פסנתרים טיפוסי מטפל בשלושה פסנתרים ביום בממוצע, ואם יש כ- 250 ימי עבודה בשנה,² אז מכוון בודד מטפל ב- 750 פסנתרים בשנה.
5. אם נחלק 75,000 ב- 750, נקבל כי יש בשיקגו 100 מכווני פסנתרים!

האם התוצאה מדויקת? כנראה שלא, אבל כעת אנו יודעים שלא מדובר בעשרות אלפים של מכוונים, וגם לא בשניים-שלושה. כבר בשלב זה ניתן לקבל אומדן לא רע על הכמות, והיא כנראה לא רחוקה הרבה מהמספר המדויק. ברור שאם פרמטר מסויים בחישוב שלנו ישתנה אז גם התוצאה הסופית תשתנה, אבל לא בהרבה.

חשבו על כך: מה אם אחת ההנחות שלנו אינה נכונה, ומכוון טיפוסי מטפל ביותר פסנתרים בכל יום ולא רק בשלושה כפי שהנחנו? אז אולי מדובר בארבעה פסנתרים, או אולי 4.5 בממוצע, אבל בטח לא 20!! זה לא הגיוני. כנ"ל לגבי מספר הנפשות הממוצע במשפחה, רק הגיוני להניח כי מדובר בארבעה נפשות או קרוב לכך.

בשורה התחתונה יש לזכור, כי התוצאה הסופית שנקבל תהיה מדויקת יותר ככל שהנחות המוצא שלנו יהיו יותר מדויקות, אבל בדרך כלל אנו נגלה כי ישנם חסמים שמגבילים את הנחות המוצא שלנו לטווח ערכים מצומצם יחסית, ועל ידי כך נוכל לקבל תוצאה סופית מאותו סדר גודל של התוצאה האמיתית.³

בנוסף לכך, כל עוד לא קיימת הטיה שיטתית של הערכים, אז הפרמטרים השונים בבעיה יכולים לאזן אחד את השני; הערכת יתר של פרמטר אחד יכולה להתאזן על ידי הערכת חסר של פרמטר אחר.

ניסוי טריניטי: פצצת האטום הראשונה

אנריקו פרמי השתמש בשיטה הזו, לא רק לפתרון בעיות 'שעשוע' כדוגמת מכווני הפסנתרים של שיקגו, אלא גם להערכת תוצאות ממשיות של ניסויים בתנאי שדה. דוגמה מפורסמת לכך התרחשה לאחר שהיגר מאיטליה לארצות הברית עקב מלחמת העולם השנייה. בארצות הברית, פרמי היה ממפתחי הכור הגרעיני הראשון בהיסטוריה והשתתף בפועל בניסוי 'טריניטי', שבו הופעלה לראשונה בהיסטוריה פצצה גרעינית.

במהלך הניסוי, שנערך ב- 16 ביולי 1945, פרמי ביצע ניסוי פשוט: מיד לאחר הפיצוץ הוא השליך באוויר חתיכות נייר קטנות שפוזרו על ידי גל ההדף מהפיצוץ. בו במקום פרמי הוציא דף ועט, והתחיל לערוך מספר חישובים פשוטים. הוא מדד את המרחק שאליו הגיעו חתיכות הנייר ביחס לנקודה שבה זרק אותם, לקח בחשבון את המרחק ממקום התצפית אל הפיצוץ, ולאחר מספר רגעים הגיע למסקנה שעוצמת הפצצה שקולה ל- 10 קילו-טון TNT, בערך. מסתבר שהעוצמה המדויקת כפי שנמדדה במכשירים היא 22 קילו-טון TNT. האומדן של פרמי היה קטן רק פי שניים מהתוצאה המדויקת!

נו, אז כמה דגים יש בים?

לאור האמור לעיל, נוכל להשתמש בשיטת פרמי כדי לתקוף את הבעיה של מספר הדגים בים. נצטרך כמובן לחשוב מהם הפרמטרים שבהם הבעיה תלויה ולתת להם ערכים מתאימים. לדוגמה:

1. נצטרך לברר מהו רדיוס כדור הארץ⁴ ומתוכו לחשב את השטח של פני כדור הארץ (אם ידוע הרדיוס \(R\) של כדור אז השטח של פני הכדור הם: \(4\pi {{R}^{2}}\)).
2. נצטרך להעריך כמה משטח פני כדור הארץ מכוסים במים.⁵
3. נצטרך לקחת בחשבון את העומק הממוצע של הים,⁶ ובעזרתו לחשב את הנפח הכולל של המים.
4. כעת נצטרך להעריך כמה דגים יש בממוצע לכל מטר מעוקב של מים.⁷
5. הכפלה של נפח המים הכולל במספר הדגים הממוצע למטר מעוקב תענה על השאלה: כמה דגים יש בים?

אני משאיר לכם לשיעורי בית לחשב את המספר הסופי.

אבל למה לעצור כאן? ואת מי בכלל מעניינים הדגים בים? יש שאלות הרבה יותר מרתקות מאשר כמה דגים יש בים. הנה דוגמה אחת:

כמה ציוויליזציות תבוניות יש בגלקסיית שביל החלב?

גם כאן, איך אפשר לדעת? יתירה מזו, השאלה נראית מטופשת: התחלנו פתאום להאמין בקיומם של חייזרים?! ובכל זאת, אין מניעה לנסות לתקוף את הבעיה בשיטת פרמי, לא? רק בשביל הספורט…

את זה בדיוק ננסה לעשות בפוסט הבא, והתשובה תפתיע אתכם.

1. התורה של ניוטון הוחלפה עם הזמן בתורת היחסות הכללית של איינשטיין, אך למגוון גדול של תופעות מחיי היום יום, התורה של ניוטון משמשת מודל מדויק מספיק. [↩]
2. להוציא חגים, סופי שבוע וחופשות [↩]
3. שאותה איננו יודעים באופן מדויק [↩]
4. 6400 ק"מ בערך [↩]
5. בערך 70% [↩]
6. 3.7 ק"מ בערך [↩]
7. באמת שאין לי מושג [↩]