האם עתיד המתמטיקה בסכנה?

כבר מספר שבועות שעולם המתמטיקה כמרקחה, וכולם עסוקים בשאלה האם באופן רשמי אנו בתחילתו של תהליך שבסופו מתמטיקאים (ואולי גם פיזיקאים?) יצטרכו לחתום בלשכת התעסוקה, כי לא יהיה בהם יותר צורך.

אז על מה כל המהומה, אתם שואלים?

ובכן, כל הבלגן התחיל מהודעה שפורסמה לפני כחודש על ידי חברת OpenAI, החברה שמאחורי מודל ChatGPT הידוע. בהודעה הם הכריזו כי מודל בינה מלאכותית הצליח להוכיח את אחת מהבעיות הפתוחות החשובות והקשות ביותר בעולם המתמטיקה, בעיות שנקראות בשם:

בעיות המילניום.

למי שלא מכיר, מדובר ברשימה של שבע בעיות במתמטיקה, בעיות מפורסמות וידועות לשמצה, בעיות שכל עולם המתמטיקה שובר עליהן את הראש כבר המון זמן. הרשימה פורסמה בשנת 2000 – בתחילת האלף השלישי לספירה – ופתרון של אחת מהן מזכה בפרס כספי של מיליון דולר, פרס שיסופק על ידי מכון קליי למתמטיקה.

במאמר הנוכחי אני רוצה להסביר לכם במה מדובר, ומה ההשלכות של הישג שכזה על העתיד של המתמטיקה והפיזיקה, ויש לכך השלכות שאי אפשר להתעלם מהן. אם יצא לכם להיתקל בסקופ הזה לאחרונה אבל לא ממש ידעתם על מה כל המהומה, אז זה המאמר בשבילכם. אם לא שמעתם על כך, עוד יותר טוב.

לפני שניגש לבעיה שנפתרה בחודש שעבר באמצעות בינה מלאכותית, קודם כל יש להדגיש: רשימת שבע בעיות המילניום לא מתיימרת להיות רשימה מלאה וממצה של כל הבעיות הפתוחות במתמטיקה; יש בעיות מפורסמות שלא נכנסו לרשימה, כגון: השערת גוֹלְדבַּךְ, השערה שהוצגה לראשונה בשנת 1742 ע"י המתמטיקאי כריסטיאן גולדבך. ההשערה טוענת כי כל מספר זוגי הגדול מ-2 ניתן להציג כסכום של שני מספרים ראשוניים, לדוגמה: 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 5+3, וכן הלאה. מחשבי-על בדקו טווח עצום של מספרים ומצאו כי ההשערה מתקיימת לכל מספר זוגי שנבדק, אבל נכון להיום אף אחד לא הצליח להוכיח את ההשערה עבור כל המספרים כולם, עד אינסוף, או לחלופין: למצוא מספר זוגי שלא מקיים את ההשערה ובכך להפריך אותה.

השערת גולדבך אמנם מאוד מפורסמת ודי ברור שהיא אגוז קשה לפיצוח, אבל היא לא נכנסה לרשימת בעיות המילניום. סיבה אחת לכך היא כי מדובר בבעיה בתורת המספרים, וברשימת בעיות המילניום יש כבר בעיות מתחום תורת המספרים, ולכן רק הוגן להשאיר מקום גם לענפים נוספים במתמטיקה. סיבה נוספת היא כי לפתרון השערת גולדבך אין (לכאורה) השלכות ברורות על תחומים אחרים מבחינה רוחבית, גם בתוך המתמטיקה וגם מחוצה לה. במילים אחרות: השערת גולדבך נראית כמו בעיה "מבודדת", כזו שלא צפויה לפתוח תחומי מחקר חדשים או להשפיע על ענפים אחרים. ברגע שיוכיחו או יפריכו אותה, נראה כי בכך יסתיים הענין.

בנוסף, אחת מבעיות המילניום בשם: השערת פּוּאַנְקָרֶה, כבר הוכחה ע"י מתמטיקאי יהודי-רוסי בשם גריגורי פרלמן עוד בשנת 2010. פרלמן הוא טיפוס – איך נאמר – מתבודד באופן קיצוני, שמתרחק מכל קשר עם הממסד האקדמי, מסרב להתראיין ובורח מאור הזרקורים כמו מאש. אם במקרה תפגשו אותו ברחובות סנט פטרבורג ברוסיה, יש מצב שתחשבו כי מדובר בהומלס. פרלמן אף סירב לקבל את הפרס על סך מיליון דולר; די ברור שכסף לא ממש עומד בראש מעייניו.

אוקיי, כעת אנו מגיעים אל הבעיה שעליה אני רוצה לספר לכם היום, הבעיה שמודל הבינה של OpenAI פתר, והיא:

שאלת קיומם של פתרונות "פיזיקליים" למשוואות נאווְיֵה-סטוקס.

רגע… מה? נאוויה מי? אם זה נשמע לכם כמו ג'יבריש, אל דאגה, בסוף המאמר אתם תוכלו להסביר את הכל גם לשכנים.

אז כדי להבין את העסק היטב, יש לחזור קצת אחורה בזמן לימיו של אייזק ניוטון. כידוע, ניוטון ניסח את חוקי המכניקה השולטים בתנועה של גופים תחת כוחות הפועלים עליהם. בפשטות, ניוטון הגיע למסקנה שהכוח הפועל על גוף שווה למכפלת מסת הגוף בתאוצה שלו. מדובר בחוק פשוט וברור, שכל גוף קשיח בעל מסה מציית לו: מכדור טניס ועד הירח, כל אלה מצייתים לחוקי המכניקה של ניוטון.

אבל המצב מסתבך כאשר מנסים להחיל את חוק ניוטון על התנועה של גוף לא-קשיח, למשל: נוזל. במילים אחרות, שאלת מיליון הדולר היא זו:

מהן המשוואות שבעזרתן נוכל לתאר את הזרימה של מים בנהר? או של הדם בגוף? או של סופת הוריקן? או של עשן מסתלסל של סיגריה? (מבחינה פיזיקלית, גם נוזל וגם גז מקוטלגים כתווך זורם; בקיצור: אפשר לחשוב על גז כסוג של נוזל מאוד דליל)

די ברור כי אי אפשר פשוט ליישם את החוק השני של ניוטון כפי שהוא על זרימה של נוזל או גז. כאמור לעיל, חוקי ניוטון מנוסחים ומתאימים אך ורק לגופים קשיחים.

אז מה עושים? הראשון שניסה למצוא דרך לתאר באופן מתמטי תנועה של נוזל, הוא המתמטיקאי השוויצרי ליאונרד אוילר (1707-1783), שהיה כנראה המתמטיקאי הפורה ביותר בכל הזמנים.

בשלב הראשון, אוילר התייחס לנוזל בתור חומר רציף. היום אנחנו כמובן יודעים שזה לא נכון; מים למשל, רק נראים לנו כמו חומר רציף, אך כשמסתכלים מספיק מקרוב מגלים כי המים למעשה מורכבים ממולקולות בדידות (חמצן דו-מימני). גם אם אוילר, לא ידע על קיומן של מולקולות, בכל מקרה זה בלתי אפשרי לתאר זרימה של נוזל באמצעות החלת חוקי ניוטון על טריליונים של טרילונים של מולקולות, זה לא עובד.

לכן, כדי לתאר את זרימת הנוזל כחומר רציף, אוילר ייחס מהירות לכל נקודה ונקודה בנוזל. עבור גוף קשיח במכניקה ניוטונית, יש רק מהירות אחת בלבד: של הגוף עצמו. בניגוד לכך, במודל של אוילר יש לנו כעת פונקציה תלת-מימדית שמייחסת מהירות נפרדת לכל נקודה ונקודה בנוזל. במקרה הכללי, מדובר בפונקציה שיכולה גם להשתנות בזמן.

בשלב השני, אוילר ניסה לקחת את החוק השני של ניוטון, ולשחק איתו מבחינה מתמטית כדי שאפשר יהיה להחיל אותו גם על פונקציה תלת-מימדית של מהירות.

והוא הצליח. כי הוא היה ממש, אבל ממש חכם.

אוילר לקח בחשבון את התפלגות המסה של הנוזל, וגם הוסיף עוד איבר למשוואה כדי לייצג הפרשי לחץ בין נקודות שונות בנוזל (באופן ספונטני הזרימה תנוע מאיזורים עם לחץ גבוה אל איזורים עם לחץ נמוך). האיבר האחרון במשוואה של אוילר מייצג כוח חיצוני שפועל "מבחוץ" על הנוזל כולו, כמו למשל: כוח הכבידה, משוט של סירה או כל כוח חיצוני אחר שתוכלו להעלות על דעתכם. בשורה התחתונה, משוואת אוילר היא למעשה חוק ניוטון רק עבור זרימה של נוזל.

בערך 70 שנים מאוחר יותר, שני מתמטיקאים בשם קלוד נאוויה (Navier) וג'ורג' סטוקס (Stokes) הבינו שמשהו חסר במשוואה המקורית של אוילר. מה שהיה חסר זה איבר במשוואה שמייצג חיכוך. שימו לב: אין הכוונה לחיכוך של שפת הנוזל עם דופן הכלי שבו הוא מוכל – כמו למשל: חיכוך של מי נהר עם הגדה או הקרקעית – כי חיכוך מסוג זה נחשב בתור כוח חיצוני שמופעל מבחוץ על הנוזל, וזה כוח שכבר מיוצג במשוואה של אוילר. החיכוך שאליו התכוונו נאוויה-סטוקס הוא חיכוך פנימי בנוזל עצמו, חיכוך שנגרם כאשר שכבות שונות בתוך הנוזל נעות אחת ביחס לשניה במהירות שונה, ולכן "מתחככות" זו בזו, פשוטו כמשמעו.

עקב כך, נאוויה-סטוקס הוסיפו איבר נוסף ואחרון למשוואה של אוילר, איבר שנקרא: איבר הצמיגות. האיבר הנ"ל מייצג את מידת החיכוך הפנימי שיש בנוזל, וככל שהנוזל יותר צמיג, כך החיכוך הפנימי בתוכו גדול יותר, מה שגורם לזרימה להיות איטית יותר. דבש למשל, הוא נוזל מאוד צמיג, ולכן דבש זורם הרבה יותר לאט בהשוואה למים. והנה המשוואה לפניכם:

לסיכום: בתוספת איבר הצמיגות, המשוואה המעודכנת כעת מתארת במדויק זרימה של נוזלים תחת כוחות, ולכן נקראת בפשטות:

משוואת נאוויה-סטוקס.

בניגוד לחוק השני של ניוטון, משוואת נאוויה-סטוקס היא אמנם משוואה מדויקת, אך מסובכת להחריד.¹ כשלמדתי עליה בפעם הראשונה בתואר הראשון בפיזיקה בקורס הידרודינמיקה, לא הבנתי כלום. לקח לי המון זמן "לעכל" אותה, כי בניגוד לחוק ניוטון – שקל מאוד להדגים אותו על הלוח ולהראות איך הוא פועל בעולם האמיתי – עם משוואת נאוויה-סטוקס לא ממש היה למרצה מה לעשות… ראינו אותה, אמרנו יפה שלום, והמשכנו הלאה, פחות או יותר…

בגלל רמת המורכבות הגבוהה שלה, מסתבר כי אין לנו פתרונות אנליטיים למשוואה, אלא רק פתרונות נומריים. למה הכוונה?

פתרון אנליטי הוא פתרון שאנחנו מסוגלים לכתוב על דף עם עיפרון. לדוגמה: כשאתם זורקים כדור לסל, אתם יכולים להחיל עליו את חוקי ניוטון, לפתור אותם, ולכתוב במפורש על דף את הפונקציה שמתארת את מסלול הכדור במרחב. אטום המימן למשל, מציית למשוואת שרדינגר, ואנחנו מסוגלים לפתור את המשוואה, ולכתוב על דף פתרון אנליטי שמתאר את פונקצית-הגל של האלקטרון שמקיף את גרעין האטום.

חוץ ממספר מאוד מצומצם של מקרים פרטיים, אין לנו יכולת למצוא פתרון אנליטי למשוואת נאוויה-סטוקס. כל מה שאנו יכולים לעשות זה למצוא פתרון נומרי, כלומר: לעשות סימולציה ממוחשבת של זרימת הנוזל, ולתת לזרימה להתפתח מרגע אחד לרגע הבא בהתאם למשוואת נאוויה-סטוקס.²

יש להדגיש כי השיטה הנומרית עובדת מצוין, ובהינתן כוח החישוב שיש בידינו היום, אנו מסוגלים להריץ באופן ממוחשב סימולציות של זרימת נוזל בצורה מאוד מדויקת. אוקיי, אז מה רע?

ובכן, המגבלה העיקרית עבורינו נובעת מכך שמשוואת נאוויה-סטוקס היא משוואה כאוטית. למה הכוונה?

כפי שהסברתי למעלה, זרימת הנוזל במשוואה מתואר על ידי פונקציה תלת-מימדית של מהירות כל נקודה בנוזל. את הדינמיקה של הפונקציה הנ"ל, המשוואה מתארת באמצעות שני רכיבים נפרדים (שני רכיבים אלה למעשה מתארים את התאוצה של הנוזל):

• הרכיב הראשון מתאר כמה המהירות משתנה באותה נקודה במרחב כתלות בזמן.
• הרכיב השני מתאר כמה המהירות משתנה באותו רגע בזמן, אך כתלות במרחב.

בכל המשוואה כולה, הרכיב השני הוא הילד הבעייתי בכיתה, ויש לו שם מיוחד: רכיב ההסעה. זה הרכיב הלא-ליניארי היחיד בכל המשוואה כולה, ובלעדיו המשוואה כולה הייתה נשארת משוואה ליניארית למהדרין, ולכן הרבה יותר פשוטה.

רכיב ההסעה הנ"ל הוא זה שגורם למשוואה להיות כאוטית, כלומר: אם ננסה לפתור את המשוואה באופן נומרי, נגלה כי לפתרון יש רגישות מאוד מ-א-ו-ד גבוהה למצב ההתחלתי של הנוזל. כל שינוי קטן, פיצפון, במצב הנוזל ברגע ההתחלה יגרור אחריו שינוי עצום במצב הנוזל לאחר זמן. תכונה זו מגבילה את יכולת הפתרון הנומרי שלנו רק לזמנים יחסית קצרים. במילים פשוטות: קשה מאוד – עד בלתי אפשרי – לחזות במדויק את זרימת הנוזל לאחר פרקי זמן ארוכים מדי.

מעבר לכאוס שיוצר איבר ההסעה במשוואה, הנוכחות של האיבר הנ"ל יוצרת כאב ראש מסוג נוסף: זה גם האיבר שבגללו נוצרות מערבולות.

זוכרים את איבר הצמיגות שהזכרתי לעיל? מסתבר כי במשוואת נאוויה-סטוקס יש סוג של "תחרות" בין איבר הצמיגות לאיבר ההסעה:

1. ככל שהנוזל יותר צמיג, כך איבר הצמיגות דומיננטי יותר, מה שגורם לאיבר ההסעה להיות זניח לחלוטין, ובמקרה הזה המשוואה הופכת למשוואה ליניארית ולא-כאוטית, ומערבולות לא יכולות להיווצר. החיכוך הפנימי בין שכבות הנוזל – עקב הצמיגות הגדולה – פועל כמו בלם שמעלים כל מערבולת שרק מתחילה להיווצר.
2. כאשר הנוזל לא צמיג, איבר הצמיגות הופך להיות זניח וכעת דווקא איבר ההסעה תופס פיקוד. במצב שכזה, כל הפרעה קטנה ביותר בזרימה – כל מכשול שהנוזל נתקל בו: אפילו גרגר של חול או בליטה מזערית על פני השטח – כל הפרעה שכזו מייצרת מערבולת, שמתפצלת למערבולות קטנות יותר, שמתפצלות לעוד מערבולות, מה שמוביל לזרימה מעורבלת וכאוטית בצורה קיצונית.

הבעיה

טוב, אם הגעתם עד כאן, אז אתם מטיבי לכת, ובטח שואלים את עצמכם: איך כל זה קשור לבעיית המילניום. ובכן, במשך שנים רבות מתמטיקאים (וגם פיזיקאים) התחבטו בשאלה הבאה:

האם ייתכן כי משוואת נאוויה-סטוקס תייצר פתרונות לא-פיזיקליים, גם כאשר היא פועלת בתוך מסגרת של תנאים פיזיקליים.

אם זה נשמע קצת מבלבל, אל דאגה, להלן אסביר בדיוק למה הכוונה כשאני אומר: תנאים פיזיקליים או פתרונות פיזיקליים.

נתחיל עם התנאים. על המשוואה יכולים לפעול שני סוגי תנאים:

1. הסוג הראשון נקרא תנאי התחלה, כלומר: מהי פונקצית המהירות התלת-מימדית של הנוזל ברגע ההתחלה.
2. הסוג השני נקרא תנאי סביבה, כלומר: מהי הפונקציה שמתארת את הכוח החיצוני שפועל על הנוזל.

כשאני אומר פונקציה "פיזיקלית", אני מתכוון לפונקציה שמתארת משהו שיכול להתקיים במציאות, לפחות באופן עקרוני. זאת בניגוד למשל לפונקציה שמכילה בתוכה ערכים אינסופיים; זו פונקציה לא פיזיקלית, כי אי אפשר להפעיל במציאות על הנוזל כוח אינסופי. באותה מידה, אי אפשר לדרוש שמהירות זרימת הנוזל בהתחלה תהיה אינסופית, אפילו בנקודה אחת בלבד (אפשר לדרוש זאת באופן מתמטי, אבל זה לא מציאותי). לכן תנאי התחלה או סביבה שמיוצגים על ידי פונקציות לא-פיזיקליות, אלה תנאים לא מציאותיים.

תכונה נוספת שפונקציה פיזיקלית צריכה לקיים היא תכונה הנקראת: חלקות.

למה הכוונה? פונקציה חלקה היא פונקציה שאין בה שינויים חדים ופתאומיים. תחשבו למשל על מסילה של רכבת הרים בפארק שעשועים: לא משנה כמה המסילה מתפתלת, עולה מעלה ומטה, ימינה ושמאלה, סלאלומים מטורפים באוויר, בכל מקרה אף פעם אין במסילה פניות חדות עם שינוי כיוון פתאומי. במילים אחרות: אין פינות; כל שינוי מסלול נעשה בצורה הדרגתית ובאופן "חלק". לעומת זאת, פונקציה שמתארת את פני השטח של מדרגות זו פונקציה לא חלקה, כי פני השטח של המדרגות משתנים בצורה פתאומית וחדה, בזוויות ישרות. פני השטח של הפירמידות במצרים, זו דוגמה נוספת לפונקציה לא חלקה, כי לפירמידה יש שפיצים, צלעות ופינות חדות.

לסיכום: הפונקציה שמתארת את הכוח שמופעל על הנוזל (תנאי סביבה), או הפונקציה שמתארת את מהירות הנוזל בהתחלה (תנאי התחלה), הפונקציות האלה צריכות להיות חלקות וללא ערכים אינסופיים, ובקיצור: פונקציות פיזיקליות.³

התעלומה הגדולה של משוואת נאוויה-סטוקס שבזכותה הפכה לחלק משבע בעיות המילניום היא זו:

האם ייתכן וקיימים תנאי סביבה ו\או תנאי התחלה, שיגרמו לכך שלאחר זמן מסוים תנועת הנוזל עצמה תהפוך להיות לא-פיזיקלית?

אם הבנתם מהם תנאי התחלה\סביבה לא-פיזיקליים, אז כבר ברור לכם מה זו תנועה לא-פיזיקלית של נוזל. לצורך הדוגמה, חשבו למשל על מערבולות. כל מערבולת שנוצרת בנוזל – מכל סיבה שהיא – מאבדת אנרגיה עם הזמן. בהרבה מקרים היא גם מתפצלת למערבולות קטנות יותר, שבתורן מאבדות אנרגיה, עד שהמערבולת נעלמת. כדי שמערבולת לא תאבד אנרגיה, יש להשקיע כוח חיצוני, בדיוק כמו שאתם משתמשים בכפית כדי לערבב את הנס-קפה שאתם שותים בבוקר. ברגע שתפסיקו לערבב, המערבולת שיצרתם תדעך ותיעלם עם הזמן. אם תרצו להגביר את מהירות הסיבוב של המערבולת, תצטרכו לסובב את הכפית יותר ויותר מהר.

המסקנה מכאן פשוטה: מצב שבו יש בנוזל מערבולת שמסתובבת במהירות אינסופית, זו תנועה לא-פיזיקלית. במילים אחרות: בלתי אפשרית, לא מציאותית. תחת תנאים נורמליים, זה פשוט לא יכול לקרות.

יש להדגיש כי מבחינה מתמטית טהורה, אפשר לייצר תנועה לא-פיזיקלית בנוזל על ידי שימוש בתנאי התחלה או תנאי סביבה לא-פיזיקליים, אבל זה סוג של רמאות; אין זה מפתיע כי תנאי התחלה או סביבה לא-פיזיקליים מסוגלים לייצר תנועת נוזל לא-פיזיקלית.

התעלומה הגדולה שהטרידה את מנוחתם של מתמטיקאים במשך מאות שנים, נוגעת למידת הוודאות שיש לנו כי תנועות נוזל לא-פיזיקליות שכאלה – כמו מערבולות המסתחררות במהירות אינסופית – בשום פנים ואופן לא יכולות להיווצר אם מובטח לנו שתנאי ההתחלה או הסביבה הם כן פיזיקליים, כלומר: מציאותיים ותקינים.

הבנתם? אני מודה כי למי שאינו מתמטיקאי זה אולי יכול להישמע כמו טרחנות שלא מן העולם הזה, אבל זו למעשה שאלה מאוד חשובה שנוגעת ל-"אמינות" כביכול של המשוואה עצמה!

להזכירכם: תנאי התחלה וסביבה פיזיקליים הם תנאים שיכולים להתקיים במציאות מבחינה עקרונית. גם אם לא מימשנו אותם במעבדה בפועל, וגם אם הטבע לא מייצר אותם באופן ספונטני, הם עדיין נחשבים בתור תנאים "כשרים", שלכל הפחות קיימת אפשרות לקיומם.

אבל מי מבטיח לנו שהמשוואה עצמה לא מסתירה בתוכה איזו תועבה מתמטית שיכולה להצמיח תנועה בלתי אפשרית גם כאשר היא נמצאת תחת תנאי התחלה וסביבה כשרים למהדרין?

זו – במלוא הדרה – בעיית המילניום של משוואת נאוויה-סטוקס: הניסיון להוכיח (או להפריך) שעבור תנאים פיזיקליים, משוואת נאוויה-סטוקס בתלת-ממד תמיד יניבו פתרונות מתמטיים חלקים, רציפים, מבלי שהן "יתפוצצו" לערכים אינסופיים.⁴

אם נצליח להפריך את בעיית המילניום, אז זהו סימן שהמשוואה מכילה "פרצה" ואין שום מנגנון מתמטי במשוואה שיחסום אותה. זכרו כי הנחת היסוד של משוואת נאוויה-סטוקס היא שהתווך רציף, כלומר שהנוזל הוא חומר שניתן לחלק אותו עוד ועוד עד לאינסוף. הפרכת בעיית המילניום מוכיחה כי הנחת הרציפות עצמה מייצרת סוג של פרדוקס פיזיקלי. הפרדוקס הנ"ל לא יתממש בטבע, פשוט מפני שהטבע אינו רציף!

שוב אני מדגיש: לכולם ברור כי הנחת הרציפות עצמה אינה נכונה כי החומר אינו רציף, אך למתמטיקאים הייתה תקווה שלכל הפחות הנחת הרציפות – גם אם אינה נכונה במציאות – לפחות לא תייצר תועבה במשוואות שלנו. פילוסופים של המדע טוענים לעיתים קרובות שהמתמטיקה היא השפה של היקום. האמנם? אם המשוואות מאפשרות מתמטית תרחיש שהפיזיקה האמיתית חוסמת, זוהי תזכורת לכך שאולי המודל המתמטי הוא רק ייצוג של המציאות, אך הוא אינו המציאות עצמה.

הפתרון

כאמור לעיל, מי שהרימה את הכפפה, זו חברת OpenAI שהחליטה לגייס למשימה 10,000 סוכנים של בינה מלאכותית שפעלו ביחד ובמקביל.

המשימה שניתנה לסוכנים הייתה דווקא להפריך את ההשערה שתיארנו לעיל: מהירות הנוזל ההתחלתית נקבעה להיות אפס (כלומר הנוזל התחיל לנוע ממנוחה מוחלטת), והסוכנים היו צריכים לשבור את הראש כמה זמן שרק צריך, כדי למצוא כוח חיצוני שמתואר באמצעות פונקציה פיזיקלית, שתגרום לכך שלאחר זמן סופי כלשהוא תנועת הנוזל תהפוך להיות לא-פיזיקלית.

לרשות הסוכנים של הבינה המלאכותית חברת OpenAI העמידה – לצורך הענין – את כל הידע המתמטי שהאנושות צברה עד עכשיו, וגם כמה חשמל שרק ירצו.

והם הצליחו…

בחודש שעבר, OpenAI יצאו בהכרזה רשמית כי בעיית המילניום נפתרה: הסוכנים החליפו ביניהם קרוב ל-3 מיליון הודעות, צרכו כ-130 מיליארד טוקנים של פלט (Tokens), ולאחר 88 שעות של חשיבה מאומצת ועלות מחשוב כוללת של כ-15 מיליון דולר, הבינה המלאכותית מצאה כוח חיצוני כשר למהדרין מבחינה פיזיקלית, שגרם ליצירתם של מערבולות שבמקום לאבד אנרגיה, להתפזר ולהיעלם – הן רק הסתחררו מהר יותר ויותר, עד שהתפוצצו לערכים אינסופיים.⁵

טוב, בואו נצנן טיפ-טיפה את ההתלהבות: נכון לעכשיו, התוצאה עדיין לא מאומתת וטרם התקבלה הכרה רשמית מקהילת המתמטיקאים כי התוצאה היא אכן פתרון קביל לבעיית המילניום. חשוב להדגיש, כי תהליך זה נכון לכל הכרזה של הוכחה מתמטית: קודם כל יש לפרסם את התוצאה במסגרת מתאימה, לעמוד בבחינה של הקהילה המתמטית במשך לפחות כשנתיים, ורק לאחר מכן אפשר לקבל הכרה רשמית. וגם מיליון דולר.

אבל מה יקרה אם בסופו של דבר יתברר כי התוצאה אכן קבילה? יש לכך השלכות מרחיקות לכת…

חשבו על כך: במשך אלפי שנים, בני אדם החשיבו את המתמטיקה הטהורה כפסגת ההישגים של הרוח האנושית. לא מעט אף טענו כי מכאן ראיה שיש בנו "ניצוץ אלוהי": איך זה שחוקים מופשטים לחלוטין, שנולדו בתוך מוח בשר ודם, מצליחים לחזות ולתאר את היקום הפיזי בדיוק כל כך מושלם? וכי אין כאן ראיה כי יש בנו "משהו" מתוך תודעה עליונה כלשהיא, חובקת כל?

אבל מה עשתה עכשיו חברת OpenAI? יצרה מערכת קוד שהצליחה לפצח בעיה שגדולי המוחות נכשלו בה, וכעת הבינה המלאכותית מנתקת את המתמטיקה מהבלעדיות האנושית.

בנוסף, חלק לא מבוטל מפריצות הדרך המתמטיות הגדולות בהיסטוריה הגיעו מרגעים של השראה, הברקות של רגע במוחם של יחידי סוגלה, ולפעמים אפילו חלומות (לא מאמינים? אז תקראו קצת על המתמטיקאי ההודי סריניוואסה רמנוג'אן). עכשיו, ה-AI הוכיח שניתן להחליף אינטואיציה מתמטית של גאון יחיד בדורו בכוח מחשוב מבוזר. תכלס, זה סוג של בריונות, לא ככה? תן ל-10,000 סוכנים לזרוק רעיונות אחד לשני במהירות האור במשך 88 שעות, והופ! מי צריך בכלל את אוילר?

וכנראה הדאגה הגדולה ביותר היא הצדקת התוצאה עצמה, שתפורסם במאמר של מאות עמודים, מאמר שכולל מתמטיקה מורכבת וסבוכה באופן קיצוני. אז מה קורה כאשר ה-AI מייצר פתרונות נכונים לחלוטין – שהמחשב בהחלט מסוגל לאמת – אך המוח האנושי של פרופסורים למתמטיקה אינו יכול לאמת במקרה הגרוע, ובמקרה הטוב זה ידרוש מהם שנים של למידה רק כדי להבין את ההיגיון שמאחורי הנימוק? ומה יקרה כאשר ההוכחות יהפכו לכל כך מסובכות, ארוכות ומורכבות, שבני אדם כבר לא יבינו אותם בכלל?

ומי בכלל יקבל את הקרדיט על ההוכחה? 10,000 סוכני בינה מלאכותית? חברת OpenAI עצמה? סוף כל סוף, המודל לא התחיל מאפס, עמדו לרשותו גם עבודות מחקר בנושא זה של מתמטיקאים בשר ודם מעשרות השנים האחרות שהצליחו להשיג התקדמות חלקית מסוימת.

זוכרים את גרגורי פרלמן שהוכיח את השערת פואנקרה? אחת הסיבות מדוע הוא סירב לקבל את הפרס היא כי לטענתו הפרס היה צריך להיות מוענק גם למתמטיקאי בשם ריצ'רד המילטון, שעל עבודתו פרלמן הסתמך. אבל מה לעשות, החוקים של מכון קליי קובעים כי הפרס מוענק רק למי שמציג פתרון מלא, תקף וסופי לבעיה, ולא למי שנתקע בדרך גם אם הוא עשה דרך ארוכה.

בנוסף – למרות שזה לא נאמר במפורש, אבל זה ברור לכולם – אם מכון קליי היה מחליט לחלק את הפרס הכספי בין פרלמן להמילטון, הוא היה פותח תיבת פנדורה קשה של איפה עובר הגבול? במתמטיקה מודרנית, כל פריצת דרך נשענת על כתפי ענקים. אם המכון היה מתחיל לחלק את הפרס לכל מי שפיתח כלי עזר בדרך, כל פרס היה מתמסמס לעשרות חוקרים.

אז מי יהיה המיליונר הטרי? GPT גרסה 6?

בינתיים, אי אפשר לדעת. קודם כל בואו נוודא ש-10,000 סוכנים לא עשו פאדיחה. העתיד בטוח יהיה מעניין…

1. ליתר דיוק, מדובר במערכת של שתי משוואות. המשוואה הראשונה, שאותה לא הזכרתי במאמר, היא משוואה שמתארת האם מדובר בזורם דחיס או זורם בלתי דחיס. זורם בלתי דחיס הוא תווך שצפיפות המסה שלו קבועה ואינה משתנה גם תחת לחץ. במילים פשוטות: אי אפשר לדחוס ממנו עוד ועוד מסה לתוך נפח נתון. מים לדוגמה זה זורם בלתי דחיס. זורם דחיס לעומת זאת, הוא זורם שכן ניתן להגדיל את צפיפות המסה שלו בתוך נפח נתון, למשל: גז. לכן המשוואה הראשונה היא למעשה תנאי מתמטי שהזורם צריך לקיים כתלות באם הוא דחיס או לא. המשוואה השניה היא המשוואה שמתפקדת בתור חוק ניוטון עבור זורם, וגם היא משתנה כתלות בשאלה האם מדובר בזורם דחיס או לא. [↩]
2. יש להודות כי בפיזיקה, לרוב המוחלט של המשוואות המתארות את המציאות בצורה מדויקת אין פתרון אנליטי כללי. המקרים שבהם יש פתרון אנליטי הם בדרך כלל במקרים פרטיים, או מקורבים. מכל מקום, ביחס למשוואות אחרות בפיזיקה מספר המקרים שבהם יש פתרון אנליטי למשוואת נאוויה-סטוקס הוא יחסית מצומצם. גם בתוך המועדון של משוואות פיזיקליות ללא פתרון אנליטי כללי, משוואות נאוויה-סטוקס נחשבות לקשוחות ומצומצמות במיוחד מבחינת כמות הפתרונות האנליטיים שניתן לחלץ מתוכן. [↩]
3. מבחינה מתמטית, ניתן להשתמש במשוואות כדי לתאר זורם אינסופי שממלא את כל המרחב, לאו דווקא זורם מוגבל בתוך נפח נתון. זה אומנם לא מציאותי אך זה כשר מבחינה מתמטית. במקרה זה יש דרישה נוספת שפונקצית הכוח החיצוני שפועל על הנוזל חייבת לקיים, והיא: הכוח החיצוני צריך להכיל כמות אנרגיה סופית. מבחינה מתמטית, הדרישה היא שהאינטגרל של פונקצית הכוח יהיה אינטגרל מתכנס ולא מתבדר. [↩]
4. הניסוח המקורי של הבעיה מתאר 2 אפשרויות: האחת היא להוכיח שעבור כל תנאי התחלה ו\או סביבה פיזיקליים שניתן להעלות על הדעת, המשוואה תמיד תניב פתרון פיזיקלי. אפשרות שניה היא להפריך הנחה זו ולמצוא דוגמה נגדית, כלומר: למצוא אפילו מקרה אחד שבו שילוב כלשהוא של תנאי התחלה ו\או תנאי סביבה פיזיקליים, מייצר פתרון לא-פיזיקלי שבו נוצרת בזורם תנועה שמתפוצצת לאינסוף. [↩]
5. בעיית המילניום הרשמית מנוסחת דווקא עבור משוואות נאוויה-סטוקס שמתארות זורם בלתי דחיס (Incompressible fluid). הבינה המלאכותית מצאה דוגמה נגדית עבור מקרה זה בלבד. אמנם, יש להדגיש כי ההוכחה אינה תקפה אוטומטית גם עבור המקרה של זורם דחיס. הסיבה לכך היא כי משוואות הזורם הבלתי דחיס הן מקרה גבול (מקרה פרטי) של המשוואות הכלליות יותר שמתארות זורם דחיס. כאשר מפריכים טענה על מקרה פרטי (זורם בלתי דחיס), מה שמוכח הוא שהמודל הספציפי הזה יכול להישבר ולייצר תנועה לא-פיזיקלית. אבל במשוואות המקרה הכללי (זורם דחיס) יש איברים מתמטיים נוספים ומורכבים בהרבה, והאיברים הנוספים הללו יכולים – תיאורטית ועד שלא יוכח אחרת – להציל את המשוואות מקריסה ולמנוע את היווצרות המערבולת הלא-פיזיקלית שהבינה המלאכותית מצאה. [↩]