השֵׁדִים של ניוטון חלק ב: אלוהים מחפש עבודה

אייזק ניוטון נחשב, ובצדק, לאחת מהדמויות החשובות ביותר בהיסטוריה של הפיזיקה והמתמטיקה. חיבורו המפורסם: "עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע" תרם לקדמה המדעית תרומה חסרת תקדים. קשה להפריז בחשיבות העצומה שיש להישגים של ניוטון: המכניקה הניוטונית הצליחה להסביר הלכה למעשה את תנועתם של גופים, קטנים כגדולים. לניוטון יש הישג אדיר נוסף: הוא פיתח את החשבון האינפיניטסימלי כבסיס מתמטי לחוקי התנועה שניסח.

בפוסט הקודם ראינו כיצד המכניקה הניוטונית – מוצלחת ככל שתהיה – מבוססת על רעיון קצת מוזר: "פעולה ממרחק", רעיון שהטריד את ניוטון לא מעט. אך צרותיו של ניוטון לא הסתיימו בכך. בעיה נוספת הדירה שינה מעיניו של ניוטון, ובמובן מסוים, זו הייתה בעיה חמורה יותר!

מסובב הגלגלים

כדי להבין את הבוץ שאליו נכנס ניוטון, יש לזכור כי עד סמוך לתקופתו של ניוטון, תמונת היקום המקובלת במדע הייתה מבוססת על המודל הגֵּאוֹצֶנְטְרִי, שפותח עוד בימיו של אריסטו ושוכלל לאחר מכן על ידי קְלָאוֹדִיוּס פְּתוֹלֶמָאיוֹס.¹

על פי מודל זה:

• כדור הארץ נמצא במרכז היקום, ומוקף בקליפות כדוריות חלולות עם מרכז משותף, קליפה בתוך קליפה כמו גִּלְדֵי בְּצָלִים. קליפות אלו נקראות גם: גלגלים.
• הגלגלים הללו מסתובבים ללא הפסק סביב כדור הארץ, והם עשויים מחומר קריסטלי שקוף כלשהו.
• הירח, השמש, וכל כוכבי הלכת תקועים – או אפשר לומר: נעוצים – בתוך הגלגלים האלה ולכן מסתובבים איתם ביחד סביב כדור הארץ.
• כל שאר כוכבי השמיים גם הם נעוצים בגלגל החיצוני ביותר, הגדול ביותר.

אוקיי, אז לאן אני הולך עם זה?

חשוב לזכור כי על פי השכל הישר, כל המבנה העצום הזה לא מסתובב לבד – ככה סתם – ללא כל עזרה. מישהו חייב לסובב את הגלגלים העצומים האלה! ובכן, בתקופה הקדומה, המטלה הזו הייתה התפקיד האקסקלוסיבי של אלוהים. התפקיד הנ"ל אף שימש כהוכחה בפועל לקיומו של אלוהים, ודוגמה לכך ניתן למצוא גם אצלנו ביהדות, בכתבי רבי משה בן מיימון, או בקיצור: הרמב"ם.² במילים פשוטות: אלוהים – בכבודו ובעצמו – הוא זה שמחזיק את הַמָּנוּאֵלָה של כל המבנה הקוסמי הזה, ומסובב אותו ללא הפסק. בלעדיו, הקוסמוס היה פשוט נתקע.

פה בדיוק נכנסת המכניקה של ניוטון, ומושכת בבת אחת את השטיח מתחת לרגליים של כל העסק. יש לזכור כי אמנם המכניקה של ניוטון מתבססת על המודל הַהֶלְיוֹצֶנְטְרִי של קופרניקוס, כלומר: השמש נמצאת במרכז – לא כדור הארץ – אך לא כאן טמון הקושי. הבעיה הגדולה נוצרת כאשר מבינים כי על פי המכניקה של ניוטון, כוכבי הלכת מסתדרים יופי-טופי בכוחות עצמם! אין צורך בשום גורם חיצוני כדי שכל המערכת תמשיך לנוע. ההיפך הוא הנכון: אם אלוהים מתערב מבחוץ ומפעיל כוח חיצוני ללא הפסק, הוא רק יפריע!

אצל ניוטון מסקנה זו יצרה קונפליקט פנימי עמוק. מדוע? יש לזכור כי ניוטון היה אדם מאוד דתי, בעל אמונה פנימית חזקה; בקיצור: נוצרי אדוק, מכף רגל ועד ראש. אך במו ידיו ומשוואותיו, ניוטון הוציא את אלוהים משוק העבודה. במילים פשוטות:

אלוהים הפך למובטל, וניוטון עצמו אשם בכך!

ניוטון לא יכל לחיות בשלום עם ההשלכות של חוקי התנועה שלו. יש למצוא לאלוהים ג'וב חלופי מכובד, ובהקדם האפשרי.

וניוטון מצא.

דרוש איש תחזוקה למערכת השמש, שכר טוב למתאימים.

כדי להבין את הפתרון המבריק של ניוטון, יש לזכור כי ניוטון בעצמו – באמצעות משוואות התנועה שניסח – הראה כי כוכב לכת כגון כדור הארץ, נע סביב השמש לא במסלול מעגלי מושלם, אלא דווקא במסלול אליפטי, כאשר השמש נמצאת באחד ממוקדי האליפסה (לא ניכנס כרגע לפרטים לגבי המשמעות הגיאומטרית של מוקדי אליפסה).³

אבל! את משוואות התנועה ניוטון פתר אך ורק למערכת שבה כדור הארץ הוא כוכב-לכת יחיד, ללא הנוכחות של שאר כוכבי הלכת. אך כפי שכולנו יודעים, מערכת השמש כוללת שמונה כוכבי לכת, וניוטון בתקופתו כבר היה מודע לשישה מהם.⁴ במערכת שכזו, המסלול של כל כוכב-לכת מושפע לא רק מהשמש, אלא גם מכוכבי הלכת האחרים.

לרוע המזל, אי אפשר לפתור במדויק את משוואות התנועה של מערכת עם כל כך הרבה גופים, לפחות לא באופן אנליטי.⁵ במילים אחרות: קשה מאוד לדעת – לטווח רחוק – מה תהיה התוצאה של ההשפעה ההדדית של כוכבי הלכת אחד על השני.

אמנם, יש לזכור כי ההשפעה ההדדית של כוכבי הלכת היא קטנה מאוד. השמש היא הגוף המסיבי ביותר במערכת, ובהפרש גדול. מכאן נובע כי המסלול של כל כוכב לכת נשלט בעיקר על ידי השמש, וזו הסיבה מדוע בקירוב ראשון, ניתן להתייחס לכל כוכב לכת כאילו הוא "לבד". משום כך, לטווחי זמן קצרים המסלולים של כוכבי הלכת אכן יציבים (קצרים מבחינה אסטרונומית, כמובן). אמנם לטווחי זמן ארוכים, לא ברור באיזו מידה ישתנו המסלולים של כוכבי הלכת עקב ההשפעה הקטנה שיש להם זה על זה.

לכן מבחינתו של ניוטון, יש שתי אפשרויות:

1. לאורך זמן, ההשפעות ההדדיות של כוכבי הלכת מתמצעות לאפס, ונוטות לבטל אחת את השנייה.
2. לאורך זמן, ההשפעות ההדדיות של כוכבי הלכת לא נעלמות, אלא דווקא מצטברות.

המשמעות של האפשרות הראשונה היא כי מערכת השמש יציבה. כוכבי הלכת ימשיכו במסלולם לנצח, או עד אחרית הימים לצורך העניין. המשמעות של האפשרות השנייה היא כי מערכת השמש אינה יציבה. עם הזמן תיתכן התנגשות של כוכבי לכת זה בזה, התרסקות של כוכב לכת לתוך השמש או אולי בריחה של כוכב לכת מחוץ למערכת השמש אל החלל הריק.

אני נותן לכם ניחוש אחד באיזו אפשרות בחר ניוטון… וכך הוא כתב כ-15 שנים לאחר פרסום המכניקה שלו:

התבונה העליונה יצרה את מערכת השמש ודחפה אותה לתנועה … אין טעם להעמיד פנים כי מערכת שכזו יכולה להיווצר מלכתחילה באמצעות חוקי הטבע לבדם. אמנם, לאחר שהחלה בתנועתה, מערכת השמש תמשיך לנוע אך ורק באמצעות חוקי הטבע לאורך דורות רבים. כוכבי הלכת יוסיפו לנוע באותה צורה מסלולית, פרט לכמה אי-סדרים בלתי מבוטלים, שנובעים מפעולות הדדיות של שביטים וכוכבי לכת זה על זה. אי-סדרים אלו יהיו נוטים להתגבר, עד שמערכת זו תדרוש תיקון.

אייזק ניוטון, פרק הסיום לחיבור Opticks, שנת 1704.

ניחשתם נכון מי אחראי לתיקון הזה על פי ניוטון:

אלוהים, גבירותיי ורבותיי, חזר לתמונה!

הבנתם? אמנם מערכת השמש נעה מעצמה, לבד, ללא התערבות, אך בטווח הארוך היא אינה יציבה! אלוהים אכן מתערב מבחוץ, אך לעיתים רחוקות. בנוסף, אלוהים לא רק שאינו מפריע, להיפך: הוא מתקן! אחת לכמה זמן אלוהים מפשיל שרוולים, דוחף מכאן, מושך משם, פה קצת מותח, במקומות אחרים מכווץ, ומערכת השמש מיוצבת מחדש!

עם יד על הלב, חייבים להודות כי זה פתרון יצירתי. בנוסף לכך, באותה תקופה ממילא לא היו מספיק נתונים שבעזרתם ניתן להכריע בין שתי האפשרויות, כך שהבחירה ביניהן הייתה נתונה לשיקול דעת כזה או אחר.

אמנם, בקהילה המדעית לא כולם השתכנעו. יש כאלה שאף צחקו קצת על חשבונו של ניוטון ובראשם יריבו הגדול, המתמטיקאי הגרמני גּוֹטְפְרִיד וִילְהֵלְם לַיְבְּנִיץ (1646-1716). בעיניו של לייבניץ, היה זה מגוחך להוריד את אלוהים לרמה של איש תחזוקה מרושל, שצריך לעשות למכונה המתפרקת שלו טיפולים תקופתיים. חשוב להדגיש: אני לא מנפח את הדברים; לייבניץ באמת התייחס לטיעון של ניוטון בזלזול מופגן, והוא יכול להרשות לעצמו. בלי להוריד מכבודו של ניוטון כהוא זה, לייבניץ בהחלט שיחק בליגה של הגדולים בזכות עצמו.

מכל מקום, הטיעון של ניוטון לא צרם רק לאזניו של לייבניץ. במשך מאות השנים הבאות, מתמטיקאים מהשורה הראשונה ניסו לפטר את אלוהים פעם נוספת, באמצעות הוכחה כי מערכת השמש יציבה לחלוטין, ללא התערבות חיצונית. חשוב להדגיש כי מדובר בדמויות מהצמרת של עולם המתמטיקה, כגון: פְּיֵר סִימוֹן לַפְּלַס, ג'וֹזֶף לוּאִי לַגְרַאנְז', קַרְל פְרִידְרִיךְ גָּאוּס, הֶנְרִי פּוּאַנְקָרֶה, סִמְאוֹן פּוּאַסוֹן, ועוד.⁶

האם הם הצליחו? ובכן, המחקרים שביצעו כל המתמטיקאים הללו אכן הובילו אותם למסקנה כי מערכת השמש יציבה. אבל! מדובר בבעיה מאוד מסובכת, לכן מטבע הדברים כל החישובים שנעשו, סובלים מאי-אילו מגבלות, קירובים, הנחות והזנחות. במילים פשוטות: מסקנתם כי מערכת השמש יציבה אינה מסקנה מוחלטת, כי לא מדובר בהוכחה מתמטית במובן המחמיר של המילה.

מה שלא הולך במוח, הולך בכוח (חישוב)

המחקר בנושא יציבות מערכת השמש קיבל תנופה משמעותית בחמישים השנים האחרונות בעקבות המצאת המחשב האלקטרוני. כאמור לעיל, מערכת רב-גופית אינה ניתנת לפתרון באופן אנליטי, כלומר: בעזרת "דף ועיפרון"; אי אפשר למצוא משוואה מדויקת שתתאר את מסלול כדור הארץ לאורך זמן. אמנם, ניתן לפתור את הבעיה באופן נוּמֵרִי באמצעות מחשב, בדרך הבאה:

• ניתן להכניס למחשב בתור קֶלֶט את מצב המערכת היום. כלומר: את המסה, המיקום והמהירות הנוכחיים של כל גוף במערכת; החל מהשמש, דרך כוכבי הלכת והירחים שלהם ועד כוכבי שביט ואסטרואידים.
• עם כל המידע הזה, המחשב מסוגל לנבא באיזה מצב תהיה מערכת השמש מחר.
• השלב הבא הוא להשתמש במצב המערכת מחר, בתור קלט שבעזרתו ניתן לחשב את מצב המערכת מחרתיים, וכן הלאה.
• כך ניתן לעקוב אחרי מערכת השמש ומסלולי כוכבי הלכת, צעד אחר צעד, לאורך מיליארדי שנים, זאת במידה ויש לנו מספיק כוח חישוב.

אוקיי, אז מה המחשבים מספרים לנו? מה התוצאה? ניוטון צדק או טעה?

בגדול, ניוטון טעה.

גם בעוד חמישה מיליארד שנים מהיום, המסלולים של כוכבי הלכת יהיו פחות או יותר זהים למה שהם היום. אין טעם לבדוק את מצב מערכת השמש בעתיד רחוק יותר, כי השמש ממילא תגיע לסוף חייה בערך באותה תקופה.⁷

אבל! יש לזכור כי תוצאת החישובים תלויה באופן ישיר במצב המערכת היום. כאמור לעיל, אנו מכניסים למחשב בתור קלט את המסה, המיקום והמהירות של כל גוף במערכת השמש נכון להיום, ומכאן והלאה נותנים למחשב לעשות את שלו. ופה קבור הכלב: את כל הנתונים הללו אנו יודעים באופן מדויק למדי, אבל לא באופן מושלם.

אוקיי, אז מה? גם אם נניח כי הנתונים האמתיים שונים קצת, לכל היותר נקבל כי מצב מערכת השמש בעוד חמישה מיליארד שנים יהיה שונה קצת מהמצב שהמחשב צופה. איפה בדיוק הבעיה?

ובכן, מסתבר כי שינויים קלים מאוד בערכים של הקלט ההתחלתי, יכולים לאורך זמן להתנפח במידה משמעותית. במילים פשוטות: שני מצבים כמעט זהים של מערכת השמש היום, יכולים להפוך לשני מצבים שונים משמעותית אחד מהשני בעוד מיליארד שנים. לכן בשורה התחתונה ניתן לומר כי ניוטון טעה, בתנאי שהמידע שיש בידינו היום על מצב מערכת השמש מספיק מדויק.

סיכום

ואולי אנחנו טועים? האם יכול להיות כי מסתתר לו במערכת השמש איזה כוכב לכת שעוד לא גילינו? אולי כוכב שביט מרוחק שעתיד לעבור באיזור ולעשות בלגן? ואם כן, האם מסלול כדור הארץ ישתנה משמעותית עקב כך? האם אלוהים יתגייס לעזרה?

לֶאֱלֹהִים פִּתְרוֹנִים.

1. המודל הגיאוצנטרי הוחלף במודל ההליוצנטרי על ידי קופרניקוס כמאה וחמישים שנים לפני ניוטון, אך המודל של קופרניקוס לא הפך לנחלת הכלל בן רגע, כך שלמעשה המודל הגיאוצנטרי הישן החזיק מעמד עד המאה ה-16, סמוך לתקופתו של ניוטון. [↩]
2. כך כותב הרמב"ם במשנה תורה, ספר המדע הלכות יסודי התורה, פרק א הלכה ה: המצוי הזה הוא אלוהי העולם אדון כל הארץ, והוא המנהיג הגלגל בכח שאין לו קץ ותכלית, בכח שאין לו הפסק, שהגלגל סובב תמיד ואי אפשר שיסוב בלא מסבב, והוא ברוך הוא המסבב אותו בלא יד ובלא גוף. [↩]
3. למעשה, יוהנס קפלר כבר קבע לפני ניוטון כי כוכבי הלכת נעים במסלולים אליפטיים, אך זו הייתה קביעה אמפירית. ניוטון הראה כי מסלול אליפטי הוא אכן הפתרון המתמטי שנובע ישירות מתוך משוואות התנועה שלו. [↩]
4. חוץ מכוכבי הלכת אורנוס ונפטון, שנתגלו מאוחר יותר. [↩]
5. זו בעיה מפורסמת בפיזיקה הנקראת: בעיית שלושת הגופים. [↩]
6. ראו מאמר מקיף בנושא: Is the Solar System Stable?, arXiv:1209.5996 [↩]
7. באחרית ימיה, השמש תתנפח וממילא תבלע בתוכה את כל כוכבי הלכת הפנימיים, כולל כדור הארץ. [↩]