השֵׁדִים של ניוטון, חלק א: כישוף פיזיקלי ופעולה ממרחק

בשנת 1687 פרסם אייזק ניוטון חיבור בשלושה כרכים, הנחשב ליצירת המופת שלו. החיבור נקרא: עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע, או כפי שנקרא בלטינית, השפה בה נכתב:

Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica

אוקיי, אם זו הפעם הראשונה שבה אתם נתקלים בפרט ההיסטורי הזה, ולא ברור לכם מה הביג-דיל, אז אמשול לכם משל:

נסו לדמיין את המדע בתור אדם שעולה במדרגות של בנין רב קומות. רוב הזמן הוא מטפס בקצב מתון, מדרגה אחת בכל פעם. לפעמים הוא מצליח לקפוץ שתי מדרגות בכל פעם למשך זמן קצר, ולעיתים נדירות ממש, אפילו שלוש מדרגות בבת אחת. נאמר זאת כך: פרסום הספר של ניוטון, הקפיץ את האדם-מדע שלנו, לא שלוש וגם לא ארבע מדרגות, אלא קומה שלמה…

מדובר – ללא הגזמה – באחת מהיצירות החשובות ביותר בהיסטוריה של המדע, ואולי החשובה ביותר, יצירה שחוללה מהפכה של ממש. ניוטון, בפעם הראשונה, הראה כיצד ניתן להשתמש במתמטיקה באופן שיטתי ומוקפד כדי לתאר, להסביר ולנבא תופעות פיזיקליות. במילים אחרות: ניוטון הפך את המתמטיקה לשפה שבה הפיזיקה מדברת.

בנוסף לכך, בנספח לספר, ניוטון מניח את אחד מהיסודות החשובים ביותר במדע המודרני. ניוטון עושה זאת בשלוש מילים קצרות, באומרו:

אינני בודה השערות.

במילים פשוטות, ניוטון מלמד אותנו כי מותר להעלות השערות, אך כל השערה (היפותיזה) חייבת להיות מגובה בממצאים אמפיריים. זאת בניגוד לתפיסה שהייתה מקובלת מאז ימיו של אריסטו, בה התצפיות בטבע פורשו על מנת שיתאימו לעקרונות פילוסופיים, עקרונות שנקבעו בהתאם להיגיון הבריא או בהתאם לכתבי הקודש.

אוקיי, אז מהו בדיוק ההישג הגדול של ניוטון? מדוע עבודתו נחשבת, עד היום, לנקודת שיא בהיסטוריה של המדע בכלל והפיסיקה בפרט? התשובה לכך פשוטה:

בעזרת שתי משוואות פשוטות, ניוטון הצליח בבת אחת - בסְוִויפּ בודד - להסביר מגוון עצום של תופעות ותצפיות בעולם.

לא אכנס כאן לניתוח מתמטי של המשוואות, אך חשוב שתראו אותן וויזואלית בתוספת הסבר קצרצר:

\(\displaystyle \sum\limits_{n}{{{{{\vec{F}}}_{n}}}}=\frac{{d\vec{p}}}{{dt}}\)

\(\displaystyle {{\vec F}_{12}} = G \cdot \frac{{{M_1}{M_2}}}{{{{\left| {{{\vec r}_{12}}} \right|}^2}}} \cdot \hat r\)

המשוואה העליונה מתארת את התנועה של גוף תחת השפעת כוחות, והמשוואה התחתונה מתארת את כוח המשיכה שפועל בין שני גופים.¹ הצירוף של שתיהן יחד, מסביר ש-פ-ע של תצפיות בכל מה שקשור לדינמיקה של גופים: החל מתנועה של נוצה ברוח, דרך תנודות של מטוטלת, ועד מסלוליהם של כוכבי הלכת סביב השמש. איזה יופי. לא תמצאו פיזיקה טובה יותר מזו.

פה בדיוק התחילו הצרות של ניוטון.

טלפתיה של כוכבי לכת

אז איפה הבעיה? איך בכלל ייתכן כי מסתתרת בעיה בסיפור הצלחה כל כך גדול?

ובכן, הקושי בתיאוריה של ניוטון נובע מההשלכות של כוח המשיכה כפי שניוטון תיאר אותו. שימו לב: ניוטון טוען כי בין שני גופים בעלי מסה, פועל כוח משיכה הדדי, אף על פי שהגופים אינם נוגעים אחד בשני. הטענה הזו נכונה לכל שני גופים בטבע, ולא משנה אם מדובר בשני גרגירי חול, או בין השמש וכוכבי הלכת. בפועל, גם ביני ובין כל אחד ואחת מכם פועל בזה הרגע כוח משיכה. חשוב להדגיש: הגוף שלי מפעיל עליכם כוח, והגוף שלכם מפעיל עלי כוח! זכרו זאת להמשך, מדובר בפרט חשוב.

ייתכן וחלקכם עדיין לא מזהים את הבעיה, וזה מובן. הרי כולנו גדלנו לתוך הרעיון של כוח המשיכה הניוטוני; מערכת החינוך דוחפת לנו את כוח המשיכה כחוק טבע עוד מימי חטיבת הביניים. אבל זכרו כי ניוטון ובני דורו לא גדלו עם הרעיון הנ"ל, אלא להיפך, הוא נחת עליהם כמו פצצה.

חשבו על כך רק לרגע אחד: בסוף המאה ה-17, ניוטון היה צריך לשכנע את הקהילה המדעית, כי בטבע קיימת מעין "פעולה ממרחק" שכזו, פעולה קסומה ומופלאה הגורמת לשני גופים רחוקים להפעיל כוח אחד על השני, אף על פי שאין בין הגופים מגע, כמו מתוך כישוף…. איך בדיוק גוף אחד "יודע" על קיומו של הגוף השני? לא ברור, אולי מעורבת כאן טלפתיה מסוג כלשהו. הרי אם אני ואתם מחזיקים חבל, ואני מושך אתכם אלי אז הכל ברור, אבל בהיעדר "חבל" שכזה, איך ניוטון יכול לטעון שאני מושך אתכם? מה מתווך את כוח המשיכה?

תשכחו לרגע מבני אדם בעלי תודעה. איך כוכב הלכת מאדים – גוש חומר דומם – יכול לפי ניוטון להפעיל דרך החלל הריק כוח משיכה על כדור הארץ – אף הוא גוש חומר דומם – ממרחק עצום כל כך? איך ייתכן כי פעולה ממרחק שכזו אפשרית בכלל? בכנות, כל העסק נראה כמו סוג של קסם מגוחך; גרגר חול על החוף באנגליה מושך גרגר חול על החוף בצרפת, ולהיפך… נו, באמת. אם ראיתם אי פעם את אורי גלר מכופף כפית, ומשהו בכל העסק הרגיש לכם מוזר, אז אתם מתחילים להבין איך ניוטון הרגיש.

ניוטון עצמו התייסר לא מעט בנושא. נסו להיכנס לראש של ניוטון ולהבין את הדילמה:

• מצד אחד, ניוטון יצר מודל מתמטי שמתאר, מסביר ומנבא באופן מוצלח את תנועתם של גופים. בשורה התחתונה: המודל פשוט עובד, ובצורה מדהימה.
• מצד שני, אותו מודל עצמו מתבסס על רעיון כל כך מופרך והזוי, שממש מביך להאמין בו.

מסתבר כי ניוטון בעצמו לא הצליח לעכל את הרעיון הנ"ל. איך אנחנו יודעים? כי ניוטון אומר זאת במפורש. הנה ציטוט מתוך מכתב שניוטון כתב לריצ'ארד בנטלי, מי שהיה אחראי על הוצאת המהדורה השנייה של חיבורו הגדול של ניוטון:

לא יעלה על הדעת שחומר דומם יכול – ללא תיווך של גורם אחר שאינו חומרי – לפעול ולהשפיע על חומר אחר ללא מגע הדדי. הרעיון כי גרביטציה היא תכונה מולדת ואינהרנטית לחומר, כך שגוף אחד יוכל לפעול על גוף אחר ממרחק גדול המלא בוואקום, ללא תיווך של דבר אחר שבאמצעותו ניתן להעביר את פעולתם וכוחם מאחד לשני, רעיון זה הוא בעיני אבסורד כה גדול, עד שאני סבור כי אף אדם בעל כישרון חשיבה פילוסופי מסוגל אי פעם לקבל רעיון שכזה. כוח המשיכה חייב להיגרם על ידי סוכן או מתווך הפועל ללא הרף על פי חוקים מסוימים; אבל אם המתווך הזה יהיה חומרי או לא, כרגע אני משאיר זאת לשיקול הדעת של הקורא.

אייזק ניוטון, מכתבים לריצ'ארד בנטלי, 1692.

אז מה עושים, לעזאזל?

שפנים פיזיקליים מהכובע

אוקיי, במבט לאחור, האם ניוטון צדק? האם "פעולה ממרחק" אפשרית? התשובה היא:

כן ולא.

אנסה להסביר בצורה פשוטה למה אני מתכוון בתשובה הכל-כך מתחמקת הזו. מסתבר כי המתח שנוצר בין המודל המתמטי המוצלח של ניוטון לבין המוזרות של עיקרון "פעולה ממרחק", הוביל פיזיקאים להמציא ישות חדשה הנקראת:

שָׂדֶה.

השָׂדֶה הנ"ל הוא למעשה המתווך שהיה חסר לניוטון. מדובר ביֵשׁוּת מתמטית, אך האם יֵשׁוּת זו אכן קיימת במציאות, או שמא הפיזיקאים עשו הוקוס-פוקוס ושלפו אותה מהכובע? נגיע לכך מיד, אך קודם יש להבין במה מדובר. נשאל אם כן, מהו שָׂדֶה פיזיקלי וכיצד הוא פותר את הבעיה של פעולה מרחוק?

ובכן, ניתן להסביר מהו שדה באמצעות אנלוגיה פשוטה:

• צאו לרחוב והניחו חתיכת בשר על הרצפה.
• לא יעבור הרבה זמן עד שזבוב ינחת על חתיכת הבשר העסיסית הזו.
• אוקיי, איך הזבוב ידע על קיומו של הבשר? ובכן, זו אינה תעלומה כלל, כי לכולנו ברור מה קרה כאן: הבשר יוצר מסביבו "שדה" של ריח, בלי קשר לשאלה אם הזבוב קיים או לא.
• סמוך לבשר הריח חזק, אך הריח הולך ונחלש עם המרחק, כך שהריח הוא המתווך בין הבשר לזבוב.
• במידה וקיים זבוב, אז הוא יעקוב אחר הריח בכיוון שבו הריח הולך ומתחזק, עד שהזבוב יגיע למקור הריח – כלומר: לבשר – אבל הריח עצמו קיים בלי קשר לקיומו של הזבוב.

אתם כבר בטח יכולים לנחש מה הנמשל. אם ניקח לדוגמה את התפוח שנפל מהעץ על ראשו של ניוטון בשעה שישב על הקרקע מתחת לעץ, אז:

• כדור הארץ (הקרקע) הוא הבשר,
• התפוח הוא הזבוב,
• שְׂדֵה הגרביטציה הוא הריח.

הפתרון שהציעו הפיזיקאים למוזרות של פעולה ממרחק נובע מההבנה כי כדור הארץ יוצר סביבו שדה גרביטציה בלי קשר לקיומו או אי קיומו של התפוח. לשדה הגרביטציה הנ"ל יש עוצמה חזקה סמוך לכדור הארץ (לקרקע) ועוצמה חלשה רחוק ממנו (על העץ). התפוח אינו יודע על קיומו של כדור הארץ; אם תשאלו את התפוח, הוא יגיד לכם שהוא מכיר רק בקיומו של השדה שבתוכו הוא נמצא, ואין לו מושג מי יוצר את השדה הזה. השדה הוא זה שגורם לתפוח ליפול כלפי הקרקע, מנקודה שבה השדה חלש אל הנקודה שבה השדה חזק.²

באופן זה, איננו נדרשים לעיקרון של פעולה מרחוק כדי להסביר את כוח המשיכה; על פי האמור לעיל, שדה הגרביטציה שיוצר גוף אחד (כדור הארץ), הופך להיות המתווך עבור הגוף השני (התפוח), בין אם הוא קיים או לא.³

עיקרון זה תופס גם למערכות עם מספר גופים גדול, כמו מערכת השמש:

• כל אובייקט במערכת השמש – יהא זה כוכב לכת, אסטרואיד, שביט או השמש עצמה – יוצר בכל המרחב שסביבו שדה גרביטציה.
• אובייקט ספציפי אינו מרגיש את השדה שהוא עצמו יוצר, אלא אך ורק את השדה הכולל שמייצרים כל שאר האובייקטים שסביבו.
• התנועה במרחב של כל אובייקט במערכת השמש נקבעת על ידי השדה שבתוכו הוא נמצא.

עכשיו שאתם מבינים מהו שדה גרביטציה, נוכל לחזור לשאלה הראשונה:

האם פעולה ממרחק אכן אפשרית?

ובכן, במבט ראשון נראה שלא. כאמור לעיל, דרוש מתווך בין שני גופים מרוחקים, והלא זה בדיוק התפקיד של שדה הגרביטציה! בשביל זה הוא נוצר!

אך במבט שני, אפשר באותה מידה לשאול: האם שדה הגרביטציה אמיתי? כלומר, האם השדה קיים במציאות באותו מובן שהגופים עצמם קיימים במציאות? אולי מדובר בשפן מתמטי שהפיזיקאים שלפו מהכובע? ומה בדבר השדה החשמלי? והשדה המגנטי? נראה כי אם לא מפקחים על הפיזיקאים, הם מרשים לעצמם לשלוף מהכובע גן חיות שלם. שיעשו מה שהם רוצים, אך מי נתן להם רשות לכפות את כל ההמצאות הללו על המציאות?

נו, חלאס, אז מה נסגר בשורה התחתונה? האם שדות פיזיקליים קיימים במציאות כמו שאני ואתם קיימים? האם אתם באמת "שׂוֹחִים" ממש עכשיו בתוך שדה גרביטציה אמיתי שאני יוצר, שדה שממלא את כל המרחב שסביבכם, או שמא מדובר בטריק מתמטי של פיזיקאים?

ובכן, שאלה טובה. מה אתם חושבים?

סיכום

בזמן שאתם מהרהרים בנושא, דעו לכם כי הפיזיקאים לקחו את הרעיון הזה אל הקצה!

לפי תורת השדות הקוונטית, כל החלקיקים ביקום – כולל חלקיקי החומר – הם לא יותר מאשר תנודות בתוך שדה שממלא את כל המרחב. לדוגמה: קיים "שְׂדֵה-אלקטרון" הממלא את כל היקום כולו, וכל האלקטרונים הם למעשה תנודות בתוך השדה הזה. העיקרון הנ"ל נכון גם לפרוטונים, נוטרונים, וכל שאר החלקיקים הידועים למדע.⁵ כל החלקיקים הללו מרכיבים את האטומים, המולקולות ושאר החומר שמסביבנו, כולל אותנו. תעשו אחד ועוד אחד, ותגיעו למסקנה כי גם אתם – מכף רגל ועד ראש – לא יותר מאוסף עצום של תנודות שונות ומשונות בתוך סלט של שדות פיזיקליים מסוגים שונים.

אם כן, האם אתם קיימים באמת במציאות?

1. בנוסף לכוח המשיכה, ניוטון למעשה פרסם שלושה חוקי תנועה. המשוואה הראשונה מתייחסת לחוק השני בלבד. החוק הראשון הוא למעשה מקרה פרטי של החוק השני. החוק השלישי הוא חוק הפעולה-תגובה, אך אין צורך להרחיב עליו כעת. [↩]
2. מסיבות דידקטיות אני בכוונה מערבב כאן בין שני מושגים שונים: שדה גרביטציה ופוטנציאל גרביטציה. גוף הנמצא בפוטנציאל גרביטציה, ינוע מפוטנציאל גבוה לנמוך. הפוטנציאל הוא סקלר ולכן חייב להשתנות כדי להניע גוף; במידה והפוטנציאל יהיה קבוע לא יפעל כוח על הגוף וזו תהיה נקודת שיווי משקל. לעומת זאת, שדה הגרביטציה הוא וקטור, וגוף שנמצא בשדה וקטורי יכול לנוע גם אם השדה קבוע בהתאם לכיוון של וקטור השדה. אם נחזור לדוגמה של התפוח שנופל על ראש ניוטון, בקירוב ראשון שדה הגרביטציה הוא קבוע סמוך לפני הקרקע והפוטנציאל משתנה ליניארית. אמנם, מבחינה מתמטית מדויקת, השדה הולך ונחלש לפי המרחק בריבוע, אך סמוך לפני הקרקע מדובר בשינוי קטן מאוד. [↩]
3. שימו לב כי כל האמור נכון גם לגבי התפוח. גם התפוח עצמו יוצר שדה גרביטציה מסביבו, כך שכדור הארץ גם הוא נמצא בתוך שדה הגרביטציה של התפוח. [↩]
4. הקווים האדומים אלו קווים שווי פוטנציאל. [↩]
5. פוטון, החלקיק הקוונטי של האור, הוא למעשה עירור או אקסיטציה של השדה האלקטרומגנטי. [↩]