יחסות לאובדי עצות, חלק ג': על עיקרון הסִימוּלְטָנִיּוּת

את שני המאמרים הקודמים בסדרה, הקדשתי להצגת שתי האקסיומות של תורת היחסות. הראשונה קובעת כי חוקי הפיזיקה זהים בכל מערכת יחוס אינרציאלית. השניה קובעת כי מהירות האור קבועה וזהה בכל מערכת יחוס אינרציאלית. במילים פשוטות: האור ינוע תמיד – בעקביות מתסכלת – במהירות של כמעט 300,000 ק"מ לשנייה, יחסית לצופה, ולא משנה באיזו מערכת ייחוס הוא נמצא.

במבט ראשון, האקסיומה השניה אולי לא נשמעת כמו איזה עניין גדול. סוף כל סוף, זו לא פעם ראשונה שאנו נתקלים בקבועי פיזיקה. יש הרבה דברים קבועים בפיזיקה, סתם לדוגמה: גם המטען של האלקטרון הוא גודל קבוע. אבל במקרה של מהירות האור זה קצת טריקי. כי מהירות – בניגוד למטען או למסה – היא סה"כ יחס בין שני גדלים: מרחק וזמן ושני אלו צריכים להימדד במערכת ייחוס כל שהיא. אז אם מהירות היא מדד לתנועה והתנועה עצמה היא יחסית, איך ייתכן שלקרן אור יש מהירות אבסולוטית? איך יכול להיות שמהירות הצופה לא תשפיע על ערכה המדוד של מהירות האור?

הדגמתי זאת במאמר הקודם: אם למשל אתם דוהרים לעבר קרן אור שנעה אליכם, אז לפי ההיגיון הבריא שלנו, האור צריך להיראות לכם מהיר יותר בהשוואה למישהו שעומד במקום. ואם אתם רודפים אחרי קרן אור, אז האור אמור להיראות לכם כאילו הוא "בורח" מכם לאט יותר.

אבל כפי שאתם כבר יודעים, זה לא המצב. לא משנה מה תעשו, לא תצליחו לגרום לאור לזוז מהר יותר או לאט יותר יחסית אליכם. עובדה זו – שאומתה בניסוי המפורסם של מייקלסון ומורלי (שעליו למדנו במאמר הקודם) – היא זו שהביאה את איינשטיין אל הרעיון המוזר כי הזמן אינו מוחלט. כלומר: הזמן עצמו הוא יחסי, ותלוי במהירות שבה נע הצופה. המהירות של הצופה תקבע מה תהיה "תפיסת הזמן" אצלו, באופן שיגרום לכך שמהירות האור הנמדדת מבחינתו, תמיד תהיה קבועה ושווה ל- 300,000 ק"מ בשניה.

כפי שאתם כבר יודעים, המטרה בסדרה הנוכחית היא להציג את הרעיונות המרכזיים של תורת היחסות לאט לאט, שלב אחרי שלב, מהקל אל הכבד. לכן הפעם, נתחיל בדבר הראשון שיש לדעת כדי להבין מה המשמעות של זמן יחסי בפיזיקה של איינשטיין.

השלב הראשון בדרך שבה איינשטיין ניגש לכל העסק הזה של "זמן יחסי", הוא באמצעות חשיבה מחודשת על מושג שנקרא: סִימוּלְטָנִיּוּת, ומהן ההשלכות של אקסיומות תורת היחסות על מושג זה. הבנה של מושג הסימולטניות – ואיך מושג זה משתנה במסגרת תורת היחסות – זה המפתח להבנה של רעיונות מתקדמים יותר.

על כך אני רוצה לדבר במאמר הנוכחי, אז בואו נתחיל.

מתי זה קרה?

אז מהי בעצם המשמעות של המושג: "סִימוּלְטָנִיּוּת"? למה אנחנו מתכוונים?

ובכן, זה די פשוט: שני ארועים המתרחשים בו-זמנית נקראים: "אירועים סימולטניים". למשל: שני פנסי מכונית מהבהבים. אם שני הפנסים מהבהבים יחד, או בו-זמנית, אז שני האירועים סימולטניים. אבל אם קודם נדלק פנס ימין ואחר כך פנס שמאל, אז האירועים לא סימולטניים. פשוט.

לעשות לכם ספויילר כבר עכשיו: הפתרון של איינשטיין לשאלה מדוע מהירות האור קבועה וזהה בכל מערכת יחוס נוגע ישירות למושג הסימולטניות.

לפי איינשטיין, גם אם שני אירועים במקומות שונים במרחב מתרחשים בו-זמנית לצופה הנמצא במערכת יחוס אחת, עדיין שני האירועים לא בהכרח יהיו בו-זמניים (כלומר: סימולטניים) לצופה במערכת יחוס אחרת. במילים אחרות: שני צופים הנעים במהירות קבועה אחד ביחס לשני, לא בהכרח יסכימו לגבי סדר ההתרחשות של שני מאורעות נפרדים במרחב. צופה אחד יכול להעיד כי אירוע א' קדם לאירוע ב', אך הצופה השני יכול להעיד על ההיפך: שאירוע ב' קדם לאירוע א', וייתכן שהוא אפילו יחשוב ששני האירועים התרחשו בו-זמנית.¹

אם זה נשמע לכם מופשט מדי, אז נתבונן בדוגמה פשוטה כדי להמחיש את העיקרון. איינשטיין עצמו הסביר את העיקרון הנ"ל באמצעות ניסוי מחשבתי שאותו הוא הציג בספר הפופולרי שהוא כתב בשנת 1917, ספר שנקרא בפשטות: "יחסות" (איינשטיין מאוד אהב לעשות ניסויי מחשבה שכאלה). הדוגמה שאביא להלן מבוססת על ניסוי המחשבה של איינשטיין, עם קצת שינויים שלדעתי מקלים על ההבנה. אז ככה:

נניח כי לאורך מדרכה ארוכה מוצבים שני פנסי רחוב: פנס אחד בתחילת המדרכה, ופנס אחד בסופה. על המדרכה, בדיוק באמצע בין שני הפנסים עומד אדם, נקרא לו: ראובן.

ראובן מחזיק שני גלאים, אחד בכל יד, וכל גלאי מופנה לכיוון פנס אחר. הגלאים פועלים באופן פשוט: כל פעם שקרן אור פוגעת בגלאי, הוא מדפיס פתק קטן עם שעת הפגיעה.²

בנוסף לכך, אדם אחר – נקרא לו: שמעון – רץ על גבי המדרכה ועושה ג'וגינג להנאתו.³

ברגע מסוים, שני הגלאים שראובן מחזיק מדפיסים בו-זמנית שני פתקים המציינים זמן זהה לחלוטין.

אוקיי, גם ראובן וגם שמעון מבינים היטב שכנראה שני הפנסים שברחוב נדלקו, קרני האור שיצאו מהם פגעו בגלאים, ולכן הפתקים הודפסו. אבל השאלה שראובן ושמעון צריכים לענות עליה, היא: מתי הפנסים נדלקו?

נו, מה אתם חושבים? מה תהיה התשובה של כל אחד?

ראובן יגיד בפשטות שהפנסים נדלקו סימולטנית, כלומר: בו-זמנית. למה? זכרו כי ראובן עומד בדיוק בנקודת האמצע בין הפנסים, ולכן המרחק בין ראובן לכל פנס שווה. שני הגלאים פלטו פתקים המציינים זמן זהה, ולכן אם כל פולס נע במהירות האור, אז הדרך היחידה בה שני הפולסים יכולים להגיע לגלאים באותו רגע היא רק אם שני הפנסים נדלקו באופן סימולטני.

אבל מה יגיד שמעון כאשר נשאל אותו את אותה שאלה? האם מבחינת שמעון הפנסים נדלקו יחד?

ובכן: זכרו כי מבחינתו של שמעון, הוא עצמו נמצא במנוחה, ודווקא ראובן הוא זה שנמצא בתנועה, כולל הפנסים וכולל המדרכה! אמנם שני הפולסים עושים את דרכם אל עבר ראובן, אך מבחינתו של שמעון דווקא ראובן הוא זה שנמצא בתנועה, ולכן ראובן "דוהר" כלפי פולס אחד ותוך כדי כך הוא גם "בורח" מהפולס השני!

יוצא מכאן כי מבחינתו של שמעון, פולס אחד עבר מרחק קצר יותר במרחב עד שהגיע לראובן, והפולס השני עבר מרחק ארוך יותר. הפולס שעבר מרחק קצר הוא הפולס שלקראתו ראובן "דוהר", והפולס שעבר מרחק ארוך הוא הפולס שממנו ראובן "בורח".

אבל בפועל, שני הפולסים פגעו בגלאים של ראובן בבת אחת, ועל כך גם שמעון מסכים, כי זו עובדה במציאות: הגלאים פלטו פתקים המציינים את אותה שעה בדיוק. שמעון לא יכול להכחיש זאת. זכרו כי השאלה אינה מתי הגיעו הפולסים לראובן, השאלה היא מתי הפנסים נדלקו.

ללא האקסיומה השניה של איינשטיין, שמעון היה יכול להגיע למסקנה (שגויה) כי הפולס שעבר מרחק גדול יותר נע מהר יותר ממהירות האור, והפולס שעבר מרחק קצר יותר נע לאט יותר ממהירות האור.

אך כאמור לעיל, לפי איינשטיין זו אינה אפשרות קבילה, כי מהירות האור תמיד צריכה להיות זהה בכל מערכת יחוס. לכן כדי לקיים את האקסיומה של איינשטיין, הדרך היחידה היא לומר כי מבחינתו של שמעון, הפנסים פשוט לא נדלקו בו-זמנית. במילים פשוטות: שמעון יטען כי פנס אחד נדלק קודם, והפנס השני נדלק אחר כך. הפנס שנדלק קודם הוא הפנס ששולח פולס של אור שממנו ראובן "בורח" (זה הפולס שעבר מרחק גדול יותר), והפנס שנדלק אחר כך הוא הפנס ששולח פולס של אור שלקראתו ראובן "דוהר" (זה הפולס שעבר מרחק קצר יותר). שמעון יטען כי פנס אחד נדלק מספיק מוקדם, כך שיש לפולס אחד מספיק זמן להגיע לראובן, בדיוק באותו רגע שבו הפולס השני מגיע אליו.

אוקיי, אז מי מהם צודק? ראובן או שמעון? אחד מהם בטח טועה, לא?

אז פה העסק נהיה קצת קשה לעיכול, כי לפי תורת היחסות שניהם צודקים.

אני יודע שזה נשמע מוזר, כי ההגיון הבריא אומר שלא ייתכן מצב של "גם וגם"… זה או שהפנסים נדלקו ביחד, או שלא.

אבל פה נכנס איינשטיין עם היחסות שלו, ואומר טענה מהפכנית: כאשר מדובר בשני אירועים נפרדים במרחב, באמת אין שום דרך לקבוע מבחינה אבסולוטית מי האירוע המוקדם יותר, או האם שני האירועים התרחשו בו-זמנית. פשוט אי אפשר לקבוע זאת באופן מוחלט, וכל ניסיון לקבוע זאת יהיה תלוי במערכת הייחוס, או במהירות התנועה של הצופה שמנסה לקבוע. לכן באמת, במובן זה, שניהם צודקים.

טעות בחשבון

אוקיי, בואו נעצור שניה, כי יש מצב שחלק מכם רוצים פשוט לומר: "מה זה כל החרטא הזה???"

זו תגובה לא בלתי-צפויה, כי באמת בשלב זה יש נטיה מובנת לחשוב שכל אי ההסכמה הזו בין ראובן לשמעון, נגרמת בסה"כ מ- "טעות בחישוב", טעות שכנראה נובעת מכך שלא עשינו את התיקונים הנדרשים מעצם העובדה שמהירות האור היא סופית.

אסביר למה אני מתכוון:

חשבו למשל לאיזו מסקנה תגיעו אם ברגע מסוים ראיתם בבת-אחת שני ברקים המכים בשני מגדלים שונים. אתם יודעים שמגדל אחד נמצא קרוב אליכם, אך המגדל השני מרוחק הרבה יותר. בכל זאת, את שני הברקים ראיתם בבת אחת.

במקרה זה, גם אם ראיתם את הברקים באותו רגע – כלומר: האור משני הברקים הגיע לעיניכם בו-זמנית – עדיין יהיה לכם ברור שהברקים עצמם לא הבזיקו בו-זמנית, נכון?

אתם הרי יודעים כי מהירות האור היא סופית, ולכן המגדל הרחוק מכם היה צריך להיפגע מהברק מוקדם יותר בהשוואה למגדל הקרוב. העובדה שאתם ראיתם את שני הברקים באופן סימולטני, לא אומרת שאכן שני הברקים פגעו במגדלים באופן סימולטני. במילים אחרות: אם תכניסו לחישובים את התיקון הנדרש מכך שמהירות האור היא סופית, אתם תגיעו למסקנה הפשוטה שאע"פ שראיתם שני אירועים שלכאורה נראים סימולטניים, הם למעשה לא כאלה. אם אתם גם יודעים את המרחק המדויק ביניכם ובין כל מגדל, אתם גם תוכלו לחשב במדויק את הפרש הזמנים בין הבזקי הברקים.

אותו היגיון תופס גם כאשר אתם שומעים את הרעם לאחר שאתם רואים את הברק. שני האירועים (הרעם והברק) נראים לכם כאילו התרחשו אחד לאחר השני, אבל הרי ידוע כי זו אשליה; בפועל, שני האירועים מתרחשים בו-זמנית.

בואו נחזור לרגע לדוגמה של הפנסים על המדרכה, כדי שזה יהיה יותר ברור. מה היה קורה אם ראובן לא היה עומד בדיוק באמצע בין שני הפנסים, אלא קרוב יותר לפנס ימין. בנוסף, ראובן מגלה כי הפתק שהדפיס גלאי ימין מציין זמן מוקדם יותר מהפתק של גלאי שמאל.

האם אתם חושבים שראובן יגיד כי שני הפנסים לא נדלקו באותו זמן? אם זו תהיה התשובה שלו, אז הוא טועה, כי הוא עושה את אותה "טעות חישוב" שדיברנו עליה קודם. בגלל שמהירות האור היא סופית, ראובן צריך לקחת בחשבון שהאור מפנס ימין מגיע מוקדם יותר עקב המרחק הקצר, ואם הוא יכניס את התיקון הנדרש, ראובן יגיע למסקנה כי גם אם הפתקים שהגלאים הדפיסו לא מציינים זמן זהה, עדיין הפנסים נדלקו בו-זמנית.

בקיצור: לזה אני מתכוון כשאני מדבר על "טעות חישוב", שאם לא מתקנים אותה אז אולי היא זו שגורמת לאי ההסכמה בין ראובן לשמעון.

אז זהו, שלא.

חשוב להדגיש: בתורת היחסות, אי ההסכמה בין צופים שונים על הסימולטניות של אירועים אינה נגרמת בגלל "טעויות חישוב" מהסוג שתיארתי לעיל, כי המתמטיקה של תורת היחסות כבר כוללת בתוכה את התיקונים הנ"ל. איינשטיין כבר טרח להכניס לתוך המשוואות עצמן את כל התיקונים הנדרשים מכך שמהירות האור היא סופית, ולמרות כל זאת, עדיין מתברר כי שני צופים הנמצאים בתנועה יחסית זה לזה, לא יסכימו על התזמון של שני אירועים נפרדים במרחב.⁴

טוב, אם הגעתם עד כאן אז אחלה. בכל מקרה, גם אם לא הבנתם עד הסוף את כל הפרטים בדוגמה לעיל עם הפנסים, גם אם לא כל האסימונים נפלו, מה שחשוב להבין זה את העיקרון הכללי. זו הנקודה החשובה ביותר שאתם צריכים לקחת איתכם הביתה מהמאמר הנוכחי:

לפי תורת היחסות, אי אפשר לקבוע באופן אבסולוטי ומוחלט את הסדר בזמן של שני אירועים בשני מקומות שונים במרחב. כל ניסיון לקבוע זאת הוא שרירותי, וגם ישתנה בהתאם לתנועתו של הצופה.

עד כאן להיום. במאמר הבא נצלול עמוק יותר אל עיוותי הזמן והמרחב שתורת היחסות מייצרת.

1. יש להדגיש כי שני האירועים צריכים להיות מופרדים מרחבית זה מזה כדי שתהיה אי הסכמה בין צופים שונים. אפשרות נוספת שבה לא תהיה אי-הסכמה גם כאשר האירועים מופרדים מרחבית, היא כאשר צופה אחד נמצא במנוחה והצופה השני נמצא בתנועה לאורך הניצב לקו המחבר בין האירועים. [↩]
2. אפשר להניח כי שני הגלאים מחוברים לאותו שעון. אם לכל גלאי יש שעון משלו, אז שני השעונים כמובן צריכים להיות מסונכרנים ביניהם, אך בגלל שהם נמצאים באותו מקום מרחבית אז הסנכרון ביניהם הוא תהליך טריוויאלי. רק אם השעונים מופרדים במרחב, אז הסנכרון הופך להיות טיפה מורכב יותר אבל ניתן לביצוע. בכל מקרה, שני שעונים המסונכרנים במערכת אינרציאלית אחת, לא בהכרח יהיו מסונכרנים במערכת אינרציאלית אחרת. זה נכון בכל מקרה, גם אם השעונים לא מופרדים במרחב. [↩]
3. מהירות הריצה שלו כמובן צריכה להיות גבוהה מאוד כדי שכל האפקטים שאתאר להלן יהיו משמעותיים, אבל זה לא קריטי לצורך המחשת הרעיון. [↩]
4. במקרה הפשוט שתיארתי לעיל, ממילא לא נדרשנו לתיקונים כאלה, כי מלכתחילה שמנו את ראובן בדיוק באמצע בין שני הפנסים [↩]