יחסות לאובדי עצות, חלק ד': הזיות במהירות האור

אז בפוסט הקודם למדנו על עיקרון מרכזי בתורת היחסות של איינשטיין, הנקרא: עיקרון הסימולטניות. ראינו כי על פי תורת היחסות, שני ארועים במקומות שונים במרחב המתרחשים בו-זמנית (סימולטנית) מבחינתו של צופה א', לא בהכרח יתרחשו בו-זמנית מבחינת צופה ב' הנמצא בתנועה ביחס לצופה א'.

שבירת הסימולטניות זו דוגמה פרטית שנובעת למעשה מתוך תופעה יסודית יותר, והיא:

כאשר נעים במהירות הקרובה למהירות האור, המרחב והזמן מתעוותים.

אוקיי, אבל למה הכוונה כשאנו אומרים "מתעוותים"? הרי עד עכשיו, בטח כבר שמעתם את זה הרבה, נכון? אבל באיזה עיוות מדובר בדיוק? איך ה-"עיוות" הנ"ל בא לידי ביטוי?

ובכן, מבחינה טכנית המרחב והזמן "מתעוותים" ע"י כך שהם עוברים טרנספורמציה מתמטית הנקראת: "טרנספורמצית לורנץ", על שם הפיזיקאי ההולנדי הנדריק לורנץ (1853-1928). דיברנו קצת על לורנץ בחלק ב' של הסדרה, ואיך לורנץ ניסה להסביר את הניסוי הכושל של מדידת תנועת כדור הארץ בתוך האֶתֶר. לא ניכנס לעובי הקורה בכל מה שקשור לטרנספורמציה עצמה, אבל אם מסקרן אתכם לדעת איך הטרנספומציה הזו נראית מבחינה מתמטית, אז היא נראית כך:

\(\displaystyle c{t}'=\gamma \left( {ct-\beta x} \right)\)

\(\displaystyle {x}'=\gamma \left( {x-\beta ct} \right)\)

במסגרת המאמר הנוכחי חשוב רק לדעת כי מדובר בסוג של מכונה; מכונה שמקבלת קורדינטות של מרחב וזמן במערכת של צופה א' (זה הקלט של המכונה), ולאחר הטרנספורציה המכונה מחזירה קורדינטות חדשות – או: מעוותות – של מרחב וזמן במערכת של צופה ב' (זה הפלט של המכונה). שינוי הקורדינטות גורם לכך שלא בהכרח תהיה הסכמה בין שני צופים לגבי הזמן והמקום שבו אירועים מתרחשים ביקום. מכל מקום, הטרנספורציה נבנתה בצורה כזו שתבטיח שכל צופה ימדוד את אותו ערך של מהירות האור, כדי לקיים את האקסיומה השניה של תורת היחסות.

קיימת דרך גרפית-ויזואלית לייצג את טרנספומצית לורנץ, כדי להקל על ההבנה של פעולת הטרנספורמציה. פיזיקאים עושים זאת באמצעות כלי שנקרא בפשטות: דיאגרמת מרחב-זמן, בה אנו מלבישים שתי מערכות קורדינטות נפרדות זו על זו (אחת עבור צופה א' ואחת עבור צופה ב'), ועל ידי כך ניתן ממש לראות כיצד מערכת קורדינטות אחת מתכווצת ונמתחת – או: מתעוותת – ביחס למערכת השניה. דרך הדיאגרמה הזו, ניתן לעקוב אחרי אירועים המתרחשים במערכת אינרציאלית אחת, וכיצד אירועים אלה יראו ע"י צופה שנמצא במערכת אינרציאלית אחרת.

במסגרת הפוסט הנוכחי לא אכנס ליותר מדי פרטים טכנים בקשר למתמטיקה של כל העסק, אבל זה נחמד לראות בפועל דיאגרת מרחב-זמן. אז במידה ולא ראיתם דיאגרמה שכזו מעולם, כך זה נראה:

להלן, אני רוצה להמחיש בצורה הכי פשוטה שיש מה יהיו ההשלכות בפועל של מרחב-זמן מעוות. במילים אחרות: כיצד יראה העולם לצופה שנמצא במערכת קורדינטות שנמתחת ומתכווצת באותו אופן שאתם רואים למעלה בדיאגרת מרחב-זמן.

מותק, הילדים התכווצו

לפני שנתחיל, חשוב לזכור נקודה מאוד חשובה: העיוות של המרחב והזמן מתרחש רק כאשר נעים במהירות הקרובה למהירות האור. כידוע, מהירות האור היא כ- 300,000 ק"מ בשניה, וזו מהירות גבוהה מאוד בהשוואה לכל מה שאנו רגילים מחיי היומיום.

לשם המחשה: בזמן טיסה מסחרית רגילה אתם נעים במהירות של בערך 0.00005% ממהירות האור. דוגמה נוספת היא הגשושית PARKER שנשלחה ע"י נאס"א כדי לחקור את העטרה של השמש. בדרך לשם, היא השתמשה בגרביטציה של הפלנטה נוגה כדי להגביר את מהירותה (אפקט זה נקרא: Gravitational slingshot, או: מקלעת כבידתית). הגשושית הגיעה למהירות של 724 אלף קמ"ש, ובאופן רשמי הגשושית הפכה להיות האובייקט המהיר ביותר שנוצר אי-פעם ע"י בני אדם. למרות זאת, מהירות הגשושית היא בסך הכל 0.064% ממהירות האור.

בקיצור, תנועה במהירויות רגילות המוכרות לנו מחיי היומיום לא מאפשרת לנו לחוות את העיוותים האלה כלל וכלל. לכן כדי להמחיש את עיוותי המרחב והזמן וכיצד אנו נחווה אותם בפועל, נצטרך לדמיין כאילו אנחנו חיים בעולם שבו מהירות האור נמוכה. במילים פשוטות: במקום להגביר את המהירות שלנו ולהתקרב אל מהירות האור, בואו ונוריד את מהירות האור ונקרב אותה אלינו. הבנתם?

אז דמיינו לרגע אחד מה היה קורה אם היינו חיים ביקום שבו מהירות האור היא רק 30 קמ"ש. זה כמובן יקום היפותטי לחלוטין, אבל איך אומרים: תזרמו. ביקום שכזה, מספיק להכנס למכונית ולנסוע במהירות שגודלה 26 קמ"ש, וכבר ניתן יהיה לראות עיוותי מרחב וזמן משמעותיים (שהרי אנו נוסעים במהירות של כ- 86% ממהירות האור).

אוקיי, אז מה יקרה בעולם שכזה אם נניח כי אתם עומדים על המדרכה וצופים במכונית שנוסעת במהירות 26 קמ"ש?

ובכן, תוך כדי שאתם מתבוננים על הנעשה בתוך המכונית בזמן שהיא מתקרבת אליכם, אתם תשימו לב שהזמן במכונית "נמתח". העיוות הנ"ל נקרא:

התרחבות הזמן (Time dilation).

במילים אחרות: כל מה שמתרחש בתוך המכונית יראה לכם כאילו הוא מתרחש בהילוך איטי (Slow motion). כל התהליכים המתרחשים בתוך המכונית פשוט יתארכו ויראו לכם כאילו הם לוקחים פי שניים זמן.¹

אסביר זאת שוב: כל תהליך שהיה אורך שניה אחת אצלכם על המדרכה, בתוך המכונית התהליך יראה לכם מבחוץ כאילו הוא אורך שתי שניות. לדוגמה: אם יש שעון בתוך המכונית הוא יתקתק פי שניים יותר לאט; כל אימת שמחוג השניות של השעון במכונית משלים הקפה אחת, בשעון שלכם המחוג של השניות משלים שתי הקפות. כל זה נכון אפילו שמדובר בשעון זהה לשעון שלכם, ואפילו אם בדקתם לפני שהמכונית התחילה לנסוע כי השעונים מתקתקים בסנכרון מלא זה עם זה.

התרחבות הזמן נכונה לכל התהליכים במכונית: אם הנהג במכונית מושיט את היד להדליק את הרדיו, זה יראה לכם כאילו היד שלו נעה בתוך מים, פי שניים יותר לאט. אם הילדים במושב האחורי רבים ביניהם ואחד מהם זורק צעצוע על השני, אז אתם תראו כיצד הצעצוע עף באוויר בהילוך איטי. בקיצור, כל ההתרחשות במכונית תראה לכם כמו סרטון ביוטיוב שבו הורידו את מהירות ההקרנה פי שתיים.

העיוות השני שתשימו לב אליו נקרא:

התכווצות האורך (Length contraction).

במילים אחרות: כל המכונית – כולל כל מי שבתוכה וכל מה שבתוכה – פשוט יתקצר בחצי. אמנם, הכיווץ המוזר הנ"ל יתרחש אך ורק בכיוון הנסיעה, כלומר: רק האורך הכולל שלה יקטן פי שתיים, אך הרוחב של המכונית וגם הגובה שלה ישארו זהים.

גם הנהג במכונית יראה לכם מעוות לגמרי: כאילו עלה עליו מכבש ופשוט מעך אותו להיות חצי מהעובי שלו. אם יש במכונית כדור טניס, הוא יראה לכם פחוס כאילו חבטו בו מאוד חזק, והוא נשאר פחוס בלי שחזר לצורתו הכדורית. בקיצור, המכונית עצמה וכל מה שבתוכה, הכל יתקצר פי שניים לאורך כיוון הנסיעה.

עד עכשיו דיברנו על נקודת המבט של מי שעומד על המדרכה ומביט על המכונית. אבל איך יראה העולם למי שנוסע בתוך המכונית ומביט החוצה?

ובכן, כשהנוסע במכונית יתבונן בעולם שבחוץ, הוא יראה את אותם עיוותים בדיוק! במילים אחרות: באותו אופן שבו הצופה העומד על המדרכה רואה את המכונית ומה שבתוכה באופן מעוות אבל כל שאר העולם שסביבו נשאר נורמלי, כך הנוסע במכונית יראה רק את העולם שמחוץ למכונית באופן מעוות, אבל את המכונית עצמה ומה שבתוכה הנוסע יראה באופן נורמלי לחלוטין.

מבחינת הנהג, הזמן במכונית ימשיך לזרום כרגיל ושעונים ימשיכו לתקתק בקצב נורמלי. תהליכים במכונית לא יראו לנהג כאילו הם מתרחשים בהילוך איטי. כמו כן, שום דבר בתוך המכונית לא יתכווץ וכל הדברים ישארו באורך הנורמלי שלהם. לעומת זאת, כל העולם שבחוץ דווקא כן יתעוות: הנהג יראה את את כל שאר העולם כאילו הוא זז בהילוך איטי. אם תנופפו לו לשלום מהמדרכה, הוא יראה כאילו היד שלכם זזה לאט מצד לצד. בנוסף, כל שאר העצמים בעולם יראו לנהג כאילו הם קצרים יותר; האורך של אוטובוסים יתכווץ פי שניים, כיכרות תנועה יפסיקו להיראות עגולים וכו' וכו'.

במבט ראשון, זה נשמע לא הגיוני. לכאורה, היינו מצפים כי אם הנהג נראה לנו 'בהילוך-איטי', אז הנהג יראה אותנו 'בהילוך-מהיר'.

זו כמובן טעות, והתשובה טמונה באקסיומה הראשונה של תורת היחסות, אקסיומה שעליה דיברנו בהרחבה בחלק א' של הסדרה, והיא: חוקי הפיזיקה זהים ותקפים בכל מערכת ייחוס אינרציאלית.

זכרו כי מבחינת הנוסע במכונית, הוא זה שנמצא במנוחה, ודווקא העולם הוא זה שנמצא בתנועה וחולף על פניו. לכן גם הנהג במכונית וגם מי שמחוץ למכונית צריכים לראות את אותם תופעות בדיוק. אם זה לא היה כך, אז היינו יכולים לקבוע באופן אבסולוטי מי נמצא בתנועה ומי במנוחה, אבל האקסיומה העומדת בבסיס תורת היחסות היא שתנועה אחידה היא יחסית בלבד, ולא אבסולוטית. זו הסיבה מדוע עיוות המרחב והזמן הוא סימטרי לחלוטין: כל צופה חושב שהעיוות של המרחב והזמן לא מתרחש אצלו, אלא רק אצל חברו.

צבעים וצורות

מעבר להתרחבות הזמן והתכווצות האורך, יש גם עיוותים מוזרים נוספים, עיוותים שגורמים לכך שכל תפיסת העולם של הנהג משתנה לחלוטין.

העיוות הראשון נובע מאפקט שנקרא: אפקט דופלר היחסותי, והוא משפיע על הצבע הנראה של כל האובייקטים בעולם שמחוץ למכונית.

תוך כדי הנסיעה, הנהג ישים לב כיצד תמונת העולם הקדמית שלו מחליפה צבעים: מהחלק האדום של קשת הצבעים אל עבר החלק הסגול. במילים פשוטות: כל האובייקטים שהנהג רואה מול פניו דרך השמשה הקדמית, כולם יתחילו לשנות צבע, אבל "באותו כיוון": צבעים אדומים יהפכו לצהובים, צבעים צהובים יהפכו לירוקים, ירוקים לכחולים וכחולים לסגולים. הצבע של כל אובייקט פשוט יזוז לכיוון הקצה הסגול של קשת הצבעים.

תמונת העולם האחורית של הנהג גם תשתנה, אבל בכיוון הפוך. אם הנהג יסובב את ראשו ויביט על העולם מהשמשה האחורית, הוא גם יראה שהצבעים משתנים, אבל הפעם אל עבר הקצה האדום של קשת הצבעים: צבעים סגולים יהפכו לכחולים, צבעים כחולים יהפכו לירוקים, ירוקים לצהובים וצהובים לאדומים. בסופו של דבר, גם הצבעים האדומים יהפכו לקרינה בלתי נראית בתחום האינפרה-אדום, וכל תמונת העולם האחורית של הנהג פשוט תעלם.²

עיוות נוסף נגרם בגלל אפקט שנקרא: אַבֵּרַצְיָה יחסותית, ואפקט זה משפיע על הצורה הנראית של כל האובייקטים בעולם שמחוץ למכונית.

אפקט האברציה בא לידי ביטוי בכך שאובייקטים בעולם שמחוץ למכונית, יראו לנהג כאילו יש להם נטיה קדימה כלפי כיוון הנסיעה אל עבר נקודה באופק שנמצאת בדיוק מול המכונית. כל העולם שמחוץ למכונית יראה לנהג כאילו הוא "נשאב" או "נמתח" אל עבר נקודה רחוקה באופק שאליה המכונית נוסעת. התחושה תהיה כאילו העולם עצמו מנסה לנסוע ביחד עם המכונית אל עבר היעד שלה…³ זה מוזר, אבל הנה סימולציה מגניבה שתראה לכם איך זה נראה. שימו לב בתחתית התמונה ניתן לראות את מהירות הנסיעה ביחס למהירות האור:

האנימציה הבאה מדגימה את שני האפקטים יחד: ככל שהמכונית (הנקודה הכחולה) מגבירה את מהירותה, כך המרחב שסביבה מתעוות. המרחב באנימציה מיוצג ע"י שתי וערב של קווי אורך ורוחב. כל עוד המכונית במנוחה, המרחב "ישר" ונראה כמו דף משבצות חשבון רגיל. ברגע שבו המכונית מתחילה לנוע, ניתן לראות כיצד המרחב מתעוות, וכיצד משתנה צבע האור המגיע לנהג מכל מקום במרחב. ככל שמהירות המכונית מתקרבת למהירות האור, צורת המרחב והצבע של אובייקטים בתוכו הולכים ומתעוותים בצורה יותר ויותר דרסטית:

סיכום

חשוב להדגיש כי כל התופעות האלה הן לא תופעות מהסוג שאנו קוראים: אשליה אופטית. ההבדל הוא יסודי: אשליה אופטית היא פרשנות שגויה של המוח כאשר הוא מקבל קלט אופטי "תקין". אבל כאשר נעים במהירות האור, התפיסה שלנו אינה מפרשת באופן שגוי את הקלט שמגיע מהעולם שסביבנו, ובמובן זה העולם שנראה לנו כאשר אנו נעים קרוב למהירות האור, הוא העולם האמיתי (ביחס אלינו, כמובן).

בקיצור, מזל שמהירות האור גבוהה כל כך, אחרת היינו מקבלים כאב ראש לא קטן.

1. זו תוצאה ישירה של העובדה שהמכונית נוסעת דווקא ב-86% ממהירות האור. [↩]
2. אפקט דופלר נגרם בגלל שתנועת המכונית אל עבר אובייקט מסוים גורמת לקיצור אורך הגל של הקרינה כפי שהיא נתפסת ע"י הנהג. אורך גל קצר יותר פירושו צבע שמשתנה בכיוון הקצה הסגול של הקשת. לעומת זאת, אם המכונית מתרחקת מאובייקט הפולט קרינה, אורך הגל של הקרינה כפי שהיא נתפסת ע"י הנהג מתארך. אורך גל ארוך יותר פירושו צבע שמשתנה בכיוון הקצה האדום של הקשת. [↩]
3. תופעה זו דומה מאוד לנסיעה במכונית תוך כדי גשם. אף על פי שהגשם יורד במאונך לקרקע, הנסיעה במכונית גורמת לכך שביחס למכונית נראה כי הגשם ניתך באלכסון, ומגיע מקדמת המכונית. תופעה דומה מתרחשת גם עבור קרני אור שמגיעות למכונית מכל עבר. נסיעת המכונית גורמת לכך שכל קרני האור נדחפות קדימה, כפי שניתן לראות בתמונה בקישור כאן. למעשה גם קרני אור שמגיעות מאובייקטים שנמצאים מאחורי המכונית, בסופו של דבר יראו לנוסע כאילו הם מגיעות מקדמת המכונית. אפשר לומר שקרוב מאוד למהירות האור, כל תמונת העולם האחורית של הנהג תהפוך לקדמית. [↩]