קצת פרטים היסטוריים על הרומן האישי שלי עם מודל העולם השטוח (חלק רביעי בסדרה)

הפעם הראשונה בה שמעתי – והפנמתי – כי יש אנשים שמאמינים שהעולם שטוח הייתה בקיץ שנת 2004, ומיד אסביר לכם מדוע אני זוכר זאת.

לפני כן – בתקופת התיכון וגם בצבא – לא זכור לי כלל שידעתי מכך. גם אם באופן מקרי נחשפתי באותה תקופה לפיסת המידע הזו, זה כנראה נכנס מאוזן אחת ויצא מהאוזן השנייה. ככל כנראה זה פשוט לא סקרן אותי. בנוסף: פייסבוק, יוטיוב, טוויטר ושאר הרשתות עדיין לא נולדו באותה תקופה, סמארטפונים עם אינטרנט עוד לא יצאו לשוק, ובהתאם לכך גם תופעת "העולם השטוח" לא קפצה לקדמת המסך.  

אני לא זוכר בדיוק באיזה הקשר שמעתי על מודל העולם השטוח בקיץ 2004, אבל הפעם פיסת המידע הזו כן תפסה את תשומת ליבי המיידית. מדוע? בקיץ 2004 בדיוק סיימתי את השנה הראשונה בתואר הראשון בפיזיקה. נו, מה לומדים בקורס "מכניקה ניוטונית" בסמסטר א', אם לא כיצד נראה כוח הכבידה שיוצרת דסקה שטוחה?¹ זו בדיוק הסיבה מדוע הרמתי אז שתי גבות כאשר שמעתי על מודל העולם השטוח; הרי לפי מה שלמדתי בכיתה, דסקה שטוחה יוצרת סביבה כוח כבידה מאוד מיוחד, כזה שיגרום לכל החוויה שלנו על כדור הארץ להיות מוזרה ומשעשעת.

טיפוס צוקים על חוף הים

אוקיי, אז איך יראו החיים שלנו אם העולם היה שטוח?

כמו שכולכם יודעים, כוח הכבידה שיוצר כדור הארץ, מכוון תמיד כלפי מרכז הכדור.² זה נשמע טריוויאלי, אבל זו הסיבה מדוע עצים צומחים ישר כלפי מעלה בכל מקום, גם עצים שצומחים על גבי מדרון משופע של הר; הם אינם צומחים במאונך למדרון, אלא במאונך לקרקע המישורית בתחתית ההר. מבחינה סכמתית, כך נראה כיוון כוח הכבידה סביב כדור הארץ:

אלא שאם העולם לא היה בצורת כדור אלא בצורת דסקה שטוחה, אז כוח הכבידה היה משתנה לגמרי. כיצד?

• רק במרכז הדסקה, איפה שנמצא הקוטב הצפוני, רק שם נקבל כי כוח הכבידה מופנה ישירות כלפי מטה, במאונך לקרקע. אם הייתם עומדים בקוטב הצפוני, הייתם מרגישים נורמלי לחלוטין. אם הייתם שותלים עץ בקוטב הצפוני, הוא היה צומח ישר כלפי מעלה.
• אך ככל שמתרחקים ממרכז הדסקה כלפי השוליים – בכיוון "דרומה" – כך כוח הכבידה כבר אינו מופנה ישירות מטה במאונך לקרקע. לעומת זאת, כוח הכבידה מתחיל לקבל זווית. במילים אחרות: כוח הכבידה נוטה באלכסון, בדיוק כך:

ההשלכות ברורות: בשבדיה למשל, במקום לצמוח במאונך לקרקע, כל העצים היו צומחים באלכסון עם נטייה כלפי דרום. בנוסף: הנטייה האלכסונית הזו של העצים תלך ותחמיר ככל שתמשיכו לרדת דרומה, לגרמניה ואחר כך לאיטליה. תשכחו מעצים – כל מבנה, כל בית, כל עמוד טלפון, היה צריך להיבנות עם נטייה אלכסונית דרומה, אחרת הוא היה קורס, פשוט כי הוא אינו מיושר עם כיוון כוח הכבידה.

הנטייה האלכסונית הזו של כוח הכבידה תגרום לכך שעצם ההליכה דרומה תרגיש לכם כאילו אתם מטפסים על הר! ממש כך: גם הליכה מצפון לדרום על חוף הים – למשל לאורך החוף המערבי של פורטוגל – תרגיש לכם כאילו אתם מטפסים במעלה שיפוע, אע"פ שאתם בעצם הולכים לאורך החוף, על קרקע מישורית. דווקא ירידה במדרגות – לכיוון דרום כמובן – לפתע תרגיש לכם כאילו אתם הולכים על קרקע מישורית! 

הצרה הצרורה היא שהטיפוס יהפוך לקשה יותר ככל שתמשיכו להדרים; במקום טיול בפורטוגל, דמיינו שאתם מטיילים מצפון לדרום לאורך החוף המזרחי של ארגנטינה. ככל שתתקרבו יותר ויותר "לקצה העולם" – אתם תרגישו כאילו אתם מטפסים על קיר: לא תהיה לכם ברירה אלא להמשיך "לטפס" דרומה עם חבלים ויתדות, כמו בטיפוס צוקים! הנטייה האלכסונית של כוח הכבידה תהיה כל כך חמורה, עד כדי כך שהכוח יהיה כמעט במקביל לקרקע!³ הסרטון הקצר – והנפלא – הבא, ימחיש לכם מה המשמעות של ללכת על עולם שטוח, ממרכז הדיסקה ועד לשוליים:

לסיכום, כל התרחיש הנ"ל נראה לי די מוזר. ככל הידוע לי, עצים לא צומחים באלכסון בשבדיה, ואנשים בארגנטינה לא מטפסים על חופים עם יתדות. זו הסיבה מדוע דווקא אז, בקיץ 2004, האמונה במודל העולם השטוח משכה את תשומת ליבי, ולזמן קצר הנושא לא יצא לי מהראש. בעיקר שאלתי את עצמי שתי שאלות:

1. האם יכול להיות שאף אחד עדיין לא סיפר לחסידי העולם השטוח כיצד נראה כוח הכבידה מעל דסקה שטוחה? הרי אפשר להוכיח זאת מתמטית; נכון, צריך לדעת קצת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, אבל זה לא בשמיים.
2. אם כן סיפרו להם, על מה בדיוק הם מתעקשים? הרי גם הם חיים באותו עולם כמו כולם, ולכן גם הם אינם מרגישים את כל התופעות המוזרות שתיארנו לעיל!

בקיצור, משהו כאן לא הסתדר. מכל מקום, ברור כי שתי השאלות הנ"ל הן שאלות רטוריות; סביר להניח שמישהו כבר עימת אותם עם כל האמור לעיל. הנחת היסוד היא שכנראה יש לחסידי העולם השטוח דרך להתמודד עם זה. אבל איך?

ובכן, אחרי דיון קצר עם כמה מהחברים לכיתה, הגענו למסקנה שכדי לחיות "כרגיל" על עולם שטוח, אין ברירה אלא להיפטר לגמרי מכל ענין כוח הכבידה, ולמצוא פתרון אחר לבעיה. לא ראינו שום דרך לצאת מזה; חייבים להכחיש כי מסת כדור הארץ יוצרת את כוח הכבידה, ויש למצוא גורם אחר לכוח הכבידה שאנו מרגישים.

מנועים קדימה

אז אם כוח הכבידה לא נוצר בגלל מסת העולם, אין ברירה אלא לייצר כוח כבידה באופן "מלאכותי". איך עושים זאת? פשוט מאוד:

מאיצים.

כל מי שנסע אי פעם במכונית יודע זאת: אם לוחצים חזק על דוושת הגז כך שהמכונית מאיצה ממנוחה, מיד מרגישים כוח שדוחף אתכם אחורה, ומדביק אתכם אל משענת הגב של הכסא. מכאן נובע כי לפחות בתיאוריה, ייתכן כי העולם השטוח מאיץ כלפי "מעלה" בדיוק במידה הנכונה, כך שאנחנו על הקרקע נרגיש "כאילו" אנחנו נמצאים בתוך שדה כבידה. במילים אחרות:

העולם הוא סוג של מכונית, הנהג לא מפסיק ללחוץ על הגז, וכולנו יושבים בתא הנוסעים.

זה תרחיש מוזר, אבל עקרונית מדובר בפתרון אפשרי לבעיה. מיותר לציין שצריך כעת להניח כי גם השמש והירח מאיצים כלפי "מעלה", כדי שהעולם לא יתרסק לתוכם. (דגל אדום!! דגל אדום!! הפלא ופלא, כעת אנו נאלצים להוסיף למודל עוד הנחה יש מאין, רק לכדי לסתום את החור. שמתם לב?) מכל מקום, הנחתי לנושא באותו רגע.

לאחר זמן מה, הגיע היום בו שיטוט תמים באינטרנט הוביל אותי אל האתר הרשמי של תנועת העולם השטוח. אתר מושקע, אני חייב לציין. יש בו פורום, ספריית מקורות, ואפילו פלטפורמת "ויקיפדיה" מיוחדת שמוקדשת כולה למודל העולם השטוח. כמו כל אתר מכובד, יש גם עמוד מיוחד לשאלות נפוצות, או בקיצור FAQ (ראשי תיבות: Frequently Asked Questions).

מה אתם יודעים! מסתבר כי חסידי העולם השטוח עשו שיעורי בית, והם מציעים בדיוק את הפתרון שתיארתי לעיל:

העולם השטוח מאיץ בחלל כלפי "מעלה", ללא הפסק, בתאוצה השווה בדיוק ל-9.8 מטרים לשנייה בריבוע.

תאוצה כזו תגרום לנו על גבי הקרקע, להרגיש "כאילו" אנחנו בתוך שדה כבידה בעוצמה הרגילה והנורמלית שכולנו מכירים. שדה הכבידה אף יהיה מאונך לקרקע בכל מקום, ללא נטיות אלכסוניות מוזרות, בדיוק כך:

בדיוק בנקודה זו כל העסק קיבל תפנית משעשעת: כדי להצדיק את טענתם, חסידי המודל הגדילו לעשות ואפילו הקדישו עמוד מיוחד לדיון בעיקרון השקילות של איינשטיין (Equivalence Principle), עיקרון הקובע כי אכן לא ניתן לדעת אם אנו בתוך מערכת מאיצה היוצרת שדה כבידה מדומה, או בתוך מערכת שאינה מאיצה אך נמצאת בשדה כבידה אמיתי, כזה שנוצר על ידי מסה.

באותו רגע חשכו לי העיניים:

אלוהים ישמור, הם פספסו את כל הטיעון של איינשטיין!

כלומר: הם כנראה מתכוונים לטוב, אבל מה לעשות שהם פשוט הבינו עקום את כל העסק… נראה כי מהצד שלהם, הם בטוחים שהם מסתמכים על יסודות איתנים בפיזיקה ועל איינשטיין הגדול, אבל האמת המרה היא שהם פשוט לא מקצועיים; הם פשוט הבינו באופן שגוי את כל הנושא.⁴ ופה הבעיה, חסידי המודל השטוח שכחו פרט אחד קטן…

יחי ההבדל הקטן!

עיקרון השקילות המפורסם של איינשטיין אכן קובע כי לא ניתן להבדיל בין שדה כבידה אמיתי לבין שדה כבידה מדומה במערכת מואצת, אך ורק אם מדובר בשדה הומוגני ואחיד (ואת הפרט הקטן הזה הם פספסו). במילים פשוטות יותר: רק אם הערך הנמדד של שדה הגרביטציה זהה בכל מקום,⁵ רק אז באמת אי אפשר להכריע האם השדה הזה הוא אמיתי (כלומר נוצר על ידי מסה), או שמא מדובר בשדה מדומה (כלומר נוצר על ידי מערכת מואצת).

אבל! במידה ואנו כן מסוגלים לזהות שינויים בערך של השדה הנמדד בין מקומות שונים, אז העיקרון של איינשטיין לא תופס, והוא עצמו אמר זאת!⁶ בשורה התחתונה:

מערכת מואצת יכולה לייצר אך ורק שדה הומוגני ואחיד. אם שדה הכבידה אחיד אז ייתכן והוא מדומה. אך אם הוא אינו אחיד, אז הוא לא מדומה, אלא נוצר על ידי מסה ולכן אמיתי. 

אתם בטח יכולים לנחש לאן זה הולך. אפשר בקלות למדוד את הכבידה במקומות שונים על פני השטח של כדור הארץ. מערכת המדידה אינה מסובכת במיוחד ומורכבת – בגדול – מקפיץ אנכי שאליו מחוברת מסה. במקומות שבהם הכבידה חזקה יותר, הקפיץ יתארך בשיעור גדול יותר בהשוואה למקומות בהם הכבידה חלשה יותר.

התוצאות, רבותיי וגבירותיי, ברורות: שדה הכבידה אינו אחיד על פני הקרקע. לדוגמה, בתמונה למטה תוכלו לראות מיפוי של עוצמת שדה הכבידה על פני השטח של מדינת ניו-ג'רזי בארצות הברית. שימו לב: זו אינה מפה טופוגרפית! עוצמת הכבידה מושפעת גם מהתפלגות וצפיפות המסה של כדור הארץ מתחת לפני השטח, לכן אין בהכרח קורלציה מושלמת בין עוצמת הכבידה לבין פני השטח הטופוגרפיים:

אם הבדלים בשדה הכבידה קיימים בסקלה של מדינת ניו-ג'רזי, קל וחומר שנוכל לזהות אותם על פני כל כדור הארץ, מהסיבות הבאות:

• לכדור הארץ אין צורה כדורית מושלמת, הוא למעשה פחוס מעט בקטבים.
• המסה של כדור הארץ אינה מפולגת באופן אחיד בתוכו; יש חלקים צפופים יותר וחלקים צפופים פחות.
• גם פני השטח של כדור הארץ אינם חלקים לגמרי: שדה הכבידה מושפע ממכתשים גדולים, רכסי הרים וגם מהטופוגרפיה של קרקעית הים.
• בנוסף, כדור הארץ מסתובב סביב עצמו, מה שגורם לכוחות צנטריפוגליים חזקים יותר על קו המשווה וחלשים יותר ככל שמתקרבים לקטבים. כוחות אלו משפיעים כמובן על שדה הכבידה הכולל של כדור הארץ.

פרויקט GRACE של סוכנות החלל האמריקאית נוצר במיוחד למטרה זו: מיפוי שדה הכבידה של כדור הארץ על ידי צמד לוויינים, פרויקט שנמשך כ-15 שנים רצופות. ככה נראית התוצאה הסופית:

בקיצור, שדה הכבידה של כדור הארץ אינו מדומה ואי אפשר לייחס אותו לעולם שטוח שנמצא בתאוצה, ולכן עיקרון השקילות של איינשטיין אינו תופס במקרה הזה.

סיכום

אז מה היה לנו?

התמקדנו בעיקר בקשר בין צורת העולם שעליו אנו חיים לבין שדה הכבידה שהוא יוצר מסביבו. ראינו כי עולם שטוח היה מייצר שדה כבידה אמיתי שסותר לחלוטין את כל מה שאנו מכירים במציאות, ובנוסף לכך ראינו כי שדה הכבידה במציאות אינו אחיד והומוגני כפי שהיינו מצפים אם היה מדובר בשדה מדומה שנוצר במערכת מאיצה.

מכל מקום, אני ממליץ לכל מי שיש קצת זמן פנוי, לשוטט קצת באתר של תנועת העולם השטוח. אפשר למצוא שם מגוון הפתעות וזה מעניין לראות כיצד הם מנסים לבסס את המודל השטוח על יסודות "פיזיקלים", שעל פי רוב הם פשוט מבינים באופן שגוי.

1. טכנית, למדתי את זה דווקא בקורס "חשמל ומגנטיות" בסמסטר ב'. בקורס הזה לומדים לחשב את השדה החשמלי שנוצר מעל דסקה שטוחה עם מטען חשמלי בהתפלגות אחידה. אך בגלל שהכוח החשמלי וכוח הכבידה נראים בדיוק אותו דבר מבחינה מתמטית, תוצאה זהה מתקבלת גם עבור כוח הכבידה מעל דסקה שטוחה. [↩]
2. נניח לרגע כי כדור הארץ הוא כדור מושלם וחלק בעל צפיפות אחידה [↩]
3. אם תגיעו לקצה הדסקה, ממש לחלק החיצוני ביותר שלה, תופתעו לגלות שלא תיפלו מהקצה אל החלל כלפי "מטה". באופן מפתיע, כוח הכבידה לפתע "יסתדר" ויפנה שוב כלפי המרכז, כך שתוכלו ללכת כרגיל על הצד הצר של הדסקה! [↩]
4. עם יד על הלב, יש לציין כי קיימים ספרי פיזיקה מכובדים שלא מוקדשים לתורת היחסות, ולכן מצטטים את עיקרון השקילות של איינשטיין בצורה מפושטת, בהתאם לצורך של החומר הנלמד. אך ספרי לימוד שמוקדשים לתורת היחסות, מתעכבים גם על הפרטים הקטנים [↩]
5. שדה הגרביטציה הוא ווקטור, לכן שדה הומוגני דורש לא רק זהות בערך השדה, אלא גם בכיוון שלו. [↩]
6. הניסוח המדויק של עיקרון השקילות מעט יותר טכני: במרחב-זמן שטוח לא ניתן להבחין בין כבידה לתאוצה. לפי תורת היחסות, קיומה של מסה מעקם את המרחב-זמן. אמנם, באזור מצומצם מספיק, גם מרחב עקום יהפוך לשטוח. לכן אם אנו מסוגלים לערוך מדידות רק בתחום מאוד מצומצם, אז ייתכן כי השדה יראה אחיד ולא נוכל לדעת אם הוא אמיתי או מדומה. אך בתחום רחב מספיק, אם נבחין כי השדה אינו אחיד, נוכל לדעת כי הוא אינו מדומה. [↩]
7. ליתר דיוק, הדרך היחידה בה ניתן באמצעות מסה לייצר שדה אחיד לחלוטין, היא אם מדובר במישור אינסופי שטוח בעל צפיפות מסה אחידה. מישור שכזה אינו קיים כמובן. [↩]