הפיזיקה של העין (חלק א'): מהי ההגדלה של סָאוּרוֹן?

טרילוגיית שר הטבעות מאת הסופר האנגלי ג'.ר.ר. טולקין, היא אחת מסדרות ספרי הפנטזיה הפופולריות ביותר בהיסטוריה. אני באופן אישי מאוהב ביקום של שר הטבעות, וכצפוי אני מאוהב גם בטרילוגיית הסרטים שיצאה בתחילת שנות האלפיים ומבוססת על סדרת הספרים. הבמאי פיטר ג'קסון עשה לדעתי עבודה נהדרת, ומאז ועד היום ראיתי את הסרטים הרבה פעמים (אני באמת לא יודע בדיוק בכמה פעמים מדובר, הפסקתי לספור).

אם גם לכם יש פינה חמה בלב לשר הטבעות, וגם מעניין אתכם לדעת קצת על הפיזיקה של העין האנושית ואיך היא עובדת מבחינה אופטית, אז הגעתם למקום הנכון. בפוסט הנוכחי אנסה לחשב – באמצעות הסבר על הפיזיקה של העין האנושית – את יכולות הראיה של סָאוּרוֹן, הנָבָל הבלתי מעורער של סדרת שר הטבעות.

אז לפני שנתחיל לתאר את הפיזיקה של העין, בואו נרענן קצת את הזיכרון לגבי עלילת שר הטבעות.

טבעת אחת לשלוט בכולן

למי שלא ממש זוכר את העלילה של שר הטבעות (זהירות: ספויילר!), אקצר ואומר שהעלילה מתארת את מסעם של שני הוביטים – פְרוֹדוֹ בַּגִינְס וסֵם גַּמְגִּ'י – לארץ מוֹרְדוֹר. ארץ זו היא משכנו של סָאוּרוֹן – התגלמות הרוע בסיפור, סוג של חצי-אל שכזה שרוצה להשתלט על העולם ולשעבד אותו. מקור כוחו של סאורון היא טבעת קסומה שבמקרה נפלה לידיו של פרודו, וכעת ההוביט המסכן צריך ללכת כל הדרך מהוֹבִּיטוֹן (הכפר שבו הוא גר) עד למורדור, ולהשמיד את הטבעת על ידי השלכתה אל לַבָּה רותחת בתוך לוע של הר געש, ממש מתחת לאף של סאורון. ההוביטים החביבים הם גזע דמוי אנוש – נמוכים, טובי לב ושוחרי שלום – שלא יודעים מה נפל עליהם, אך בעזרתם של קוסם זקן בשם גַּנְדְּלָף, ולוחם אמיץ בשם אַרַגּוֹרְן, הם עושים את הבלתי אפשרי ומצליחים להשמיד את הטבעת.

מכל מקום, לסאורון יש בעיה: הוא צריך את הטבעת כדי ללבוש צורה גשמית. ללא הטבעת, סאורון די מוגבל, כי הוא אינו מסוגל להגשים את עצמו בתוך גוף של ממש. במקום זאת, סאורון מופיע אך ורק בתור עין ענקית ולוהטת בראש מגדל גבוה. הוא לא יכול לנוע ממקום למקום, הוא רק יכול להסתכל. כך – מראש המגדל – סאורון מפקח על הנעשה במורדור.¹

כעת לחלק המעניין… לקראת סוף הסרט השלישי בטרילוגיה, גנדלף וארגורן וכל שאר החברה הטובים מכנסים צבא גדול ויוצאים למלחמה מול צבאותיו של סאורון. המלחמה מתרחשת בשער השחור, נקודת הכניסה הצפונית וגם היחידה למורדור. ממש לפני תחילת הקרב, השער השחור נפתח, וסאורון מביט בגנדלף ובארגורן ישירות.

בתור מעריץ מושבע של שר הטבעות, ופיזיקאי משועמם בלי קשר, מיד שאלתי את עצמי: רגע, רגע… לפי המפות שיש בספרים עצמם, המגדל של סאורון מרוחק מהשער השחור בערך 160 ק"מ בקו אווירי. האם ייתכן כי סאורון באמת מצליח לראות את מה שמתרחש 160 ק"מ ממנו?! זה כמו המרחק בין אשקלון לנהריה! אז החלטתי להפשיל שרוולים, ולנסות להבין האם סאורון מסוגל לראות את הקרב… במילים אחרות:

לחשב את יכולת ההגדלה של העין של סאורון.

כדי לעשות זאת, נצטרך לומר כמה מילים על הפיזיקה של העין.

העין כמצלמה

כל מצלמה שאי פעם החזקתם ביד מורכבת משני רכיבים:

1. עדשה: זה הרכיב שמבצע מניפולציה על קרני האור,
2. מסך: זה הרכיב שמבצע רישום או "הקלטה" של תמונת העולם שבחוץ.

במצלמות הישנות של פעם, המסך היה למעשה סרט הצילום שאותו הייתם צריכים לפתח כדי לקבל את התמונות, בעוד שבמצלמות הדיגיטליות החדשות – כמו זו שבפלאפון שלכם – סרט הצילום הוחלף בחיישן אלקטרו-אופטי.

העין שלנו אינה יוצאת דופן, והיא למעשה מצלמה אורגנית: בחלק הקדמי של גלגל העין יש עדשה, ובחלק האחורי של העין נמצאת הרִשְׁתּית, שמתפקדת בתור המסך, או: סרט הצילום של העין. התפקיד של העדשה – כמו במצלמה רגילה – הוא לרכז את קרני האור הנכנסות דרך האישון ולמקד אותם על הרשתית, ועל ידי כך ליצור דמות של האובייקט שעליו אתם מסתכלים. זה הכלל:

• אם הדמות נוצרת על הרשתית, העולם נראה ברור.
• אם הדמות לא נוצרת על הרשתית, העולם נראה מטושטש.

אוקיי, במה זה תלוי? מה קובע אם העדשה תצליח או לא תצליח לייצר דמות על הרשתית?

בראש ובראשונה, יש להבין כי העדשה שבעין מסוגלת למקד את קרני האור אך ורק בגלל העקמומיות שלה, כלומר: בגלל שפני העדשה אינם מישוריים אלא קמורים.² בתמונה למעלה ניתן לראות זאת היטב: פני השטח של העדשה – משני הצדדים שלה – עקומים, והיא נראית קצת כמו ביצה פחוסה. בקישור כאן אני מרחיב על הנושא מבחינה מתמטית, אך במסגרת הפוסט הנוכחי, מה שחשוב לדעת זה אך ורק את הכלל הבא:

ככל שלפני השטח של העדשה יש עקמומיות גדולה יותר, כך העוצמה האופטית של העדשה גדולה יותר, ויכולת המיקוד שלה חזקה יותר.³

הנה דוגמה פשוטה שבעזרתה תוכלו להבין כיצד הכלל הנ"ל בא לידי ביטוי:

נניח כי אתם נמצאים בקצה אחד של החדר, ובקצה השני מונח נר דולק (הנר הוא האובייקט). לא משנה מה המרחק המדויק ביניכם ובין הנר, אתם בכל מקרה תהיו מסוגלים לראות את הנר בצורה ברורה ולא מטושטשת. מדוע? הסיבה לכך פשוטה: שרירי העין מפעילים לחץ על העדשה בהתאם למרחק שלכם אל הנר, ועל ידי כך השרירים משנים את מידת העקמומיות של העדשה בדיוק במידה הדרושה כדי לייצר תמונה של הנר על מישור הרשתית (התמונה היא הדמות). ככל שהאובייקט קרוב יותר לעין, כך נדרשת מהעדשה עוצמה אופטית גדולה יותר, וזה בדיוק מה שעושים שרירי העין כאשר הם לוחצים על העדשה: מגדילים את העוצמה האופטית שלה כדי "להכריח" את הדמות להיווצר דווקא על מישור הרשתית ולא במקום אחר. ללא שרירי העין, היינו רואים אובייקטים קרובים באופן מטושטש, כי הדמות של האובייקט לא הייתה נוצרת על הרשתית עקב העוצמה החלשה של העדשה.⁴

הדמות שהעדשה מייצרת צריכה להיות מוכלת במלואה ברשתית, ולכן ברור כי גודל הדמות יהיה הרבה יותר קטן מהגודל הפיזי של האובייקט. אם נרצה לחשב את גודל הדמות הנוצרת על הרשתית \(h\), נוכל לעשות זאת באמצעות נוסחה מאוד פשוטה: כל מה שצריך לעשות זה לחלק את קוטר גלגל העין \(d\) במרחק של האובייקט מהעין \(D\), ולהכפיל את התוצאה בגודל הפיזי של האובייקט \(H\), כך:

\(\displaystyle h = \frac{d}{D} \cdot H\)

הנה דוגמה מספרית: נניח כי הנר נמצא במרחק של \({D = 2}\) מטרים מכם, וגודלו הפיזי \({H = 10}\) ס"מ. בנוסף, נניח כי קוטר של עין אנושית ממוצעת הוא \({d = 2}\) ס"מ. על פי הנוסחה שתיארתי לעיל נקבל כי גודל הדמות \(h\) של הנר על הרשתית הוא:

\(\displaystyle h = \frac{{2\left[ {cm} \right]}}{{2\left[ {meter} \right]}} \cdot 10\left[ {cm} \right] = 1\left[ {mm} \right]\)

קיבלנו כי על הרשתית נוצרת דמות של הנר בגודל של 1 מילימטר. מהנוסחה הנ"ל ניתן לראות כי ככל שתתרחקו מהאובייקט, כך הדמות על הרשתית תלך ותקטן, ולכן האובייקט יראה לכם יותר ויותר קטן. ככל שתתקרבו לאובייקט, הדמות על הרשתית תגדל והאובייקט יראה לכם גדול יותר (אע"פ שגודלו הפיסי של האובייקט לא משתנה במציאות).⁵ במילים אחרות:

ההגדלה של העין האנושית, היא היחס בין גודל הדמות על הרשתית לבין הגודל הפיזי של האובייקט.

אבל שימו לב כי בנוסחה הנ"ל יש עוד גודל אחד שלא משתנה: קוטר העין. מכאן נוכל להסיק כי אם קוטר העין היה גדול יותר, אז הדמות על הרשתית תגדל בהתאם, והגודל הנדמה של האובייקט יגדל, גם מבלי להתקרב אליו פיזית. במילים אחרות: להכפיל את קוטר העין פי 2, זה כמו להתקרב לאובייקט למרחק קצר פי 2.

גנדלף, אני רואה אותך!

נו, אז מה קוטר העין של סאורון? לפי הפיזיקה שתיארתי לעיל, אם נדע את גודל העין שלו, נוכל להשוות את הראיה של סאורון בהשוואה לראיה של עין אנושית אילו היינו אנחנו עומדים על המגדל. אם נסתכל שוב על תמונת העין של סאורון שהבאתי למעלה, נוכל לראות כי ניתן להעריך את קוטר העין די בקלות אם נדע את מימדי המגדל.

אז שאלתי את האדמו"ר מגוגל, והתברר כי המודל המיניאטורי של המגדל שנבנה עבור צילומי הסרט היה בגובה של 7.6 מטרים וביחס של 1:200, כך שהמודל אמור לייצג מגדל שגובהו במציאות הוא בערך 1500 מטרים. מדובר במבנה עצום ומטיל אימה, שגובהו כמעט כפול מהגובה של מגדל הבורג'-חליפה בדובאי… הנה תמונה רק כדי שתבינו כמה מפלצתי הוא המגדל של סאורון:

העין של סאורון נמצאת בראש המגדל בתוך מבנה דמוי מזלג בעל שתי-שיניים, כאשר המרחק בין שיני המזלג הוא בערך עשירית מגובה המגדל, כלומר: כ- 150 מטרים. קוטר גלגל העין של סאורון נראה כמו חצי ממרחק זה, כלומר 75 מטרים. יוצא שהעין של סאורון גדולה פי 3750 מהעין האנושית. לפי האמור לעיל, אע"פ שהמרחק הפיזי בין סאורון אל איזור הקרב הוא 160 ק"מ, העין הגדולה של סאורון מאפשרת לו לראות את הקרב באותו אופן שבו אתם הייתם רואים את הקרב אילו הייתם עומדים במרחק הקטן פי 3750 מהמרחק של סאורון… במילים אחרות:

העין של סאורון בראש המגדל רואה את הקרב בשער השחור – במרחק 160 ק"מ – באותו אופן שאתם הייתם רואים את הקרב אם הייתם עומדים כ- 42 מטרים מהקרב. 

לא רע בכלל !!⁶

סיכום

אז מה למדנו?

ראינו כי ההגדלה של העין האנושית תלויה בגודל הדמות שהיא יוצרת על הרשתית, ואם מדובר בעין של סאורון, אז המימדים שלה מאפשרים לסאורון יכולות הגדלה מרשימות במיוחד.

אבל זה לא מספיק… מבחינה פיזיקלית, הגדלה היא לא בדיוק אותו דבר כמו חַדּוּת. במילים פשוטות: אף על פי שסאורון רואה את גנדלף, פרודו וארגון בהגדלה עצומה, זה לא בהכרח אומר כי הוא רואה אותם בָּרוּר. כדי להבין מה חדות הראיה של סאורון, נצטרך ללמוד על מושג פיזיקלי נוסף בתחום האופטיקה, שנקרא: כושר הפרדה, כלומר: עד כמה סאורון מסוגל להבחין בין פרטים קטנים בתוך התמונה עצמה שהוא רואה.

ועל כך בפוסט הבא…

1. בשלב זה יש לשאול: מי בכלל אמר שהעין של סאורון באמת "רואה" כמו העין שלנו? אולי זו רק עין סימבולית, כדי לציין את ההשפעה והשליטה שיש לסאורון? ובכן, מסתבר (לפחות בסרטים) שהעין של סאורון באמת רואה במובן הפיסיקלי של המילה, כמו העין שלנו, משתי סיבות: ראשית, למה העין נמצאת בראש מגדל גבוה, אם לא כדי להגדיל את טווח הראיה? שנית, ניתן לראות בבירור בסרט "שיבת המלך" (הסרט השלישי בטרילוגיית שר הטבעות), כיצד העין של סאורון מאירה כל איזור שאליו היא מפנה את המבט, ממש כמו שאנו מדליקים פנס בחדר חשוך כדי לראות (מורדור היא ארץ אפילה ודי חשוכה). יש רגע בסרט שבו סאורון כמעט תופס את פרודו "על חם", אלמלא סם שהפיל את פרודו לקרקע ברגע האחרון והסתתר מאחורי סלע. תופעה זו ברורה במיוחד לקראת סוף הסרט כשפרודו מגיע להר הגעש ושם את הטבעת על האצבע. סאורון מרגיש זאת, ומיד מפנה את מבטו אל עבר הר הגעש, ומאיר אותו. איזו סיבה יש לעין של סאורון להאיר כמו פנס אם לא כדי לראות בפועל? [↩]
2. ליתר דיוק, העקמומיות של העדשה היא תנאי הכרחי אך לא מספיק: העדשה צריכה להיות עשויה מחומר בעל מקדם שבירה שונה ממקדם השבירה של התווך בו היא נמצאת. במילים אחרות: גם אם נייצר עדשה מזכוכית עם פני שטח קמורים, אבל נשים אותה בתוך נוזל עם מקדם שבירה זהה למקדם השבירה של הזכוכית, נקבל מצב בו העדשה למעשה לא תשבור את קרני האור כלל. [↩]
3. שימו לב לא לבלבל בין "עקמומיות", q, לבין "רדיוס-עקמומיות", R. שני גדלים אלה הופכיים אחד לשני, כלומר: R=1/q. לכן עקמומיות גדולה פירושה רדיוס-עקמומיות קטן. [↩]
4. מבחינה טכנית, בקדמת העין יש שני רכיבים אופטיים: בחלק החיצוני של העין נמצאת הקרנית ורק אחריה באה העדשה. יש להדגיש כי גם הקרנית עצמה מתפקדת כעדשה, אבל העוצמה האופטית שלה קבועה, כלומר: שרירי העין לא משנים את רדיוס העקמומיות שלה (העוצמה האופטית של הקרנית היא 43.5 דיאופטר, מה שמקביל למרחק מוקד של כ- 2.3 ס"מ). לעומת זאת, לעדשה שבאה לאחר הקרנית יש עוצמה אופטית חלשה יותר אבל שרירי העין מסוגלים לשנות מעט את העוצמה האופטית שלה, ועל ידי כך לייצר דמות על הרשתית עבור אובייקטים רחוקים וקרובים גם יחד (העוצמה האופטית של העדשה כאשר שרירי העין רפויים היא בערך 15.5 דיאופטר, מה שמקביל למרחק מוקד של כ- 6.4 ס"מ). ככל שהאובייקט קרוב יותר לעין, כך שרירי העין צריכים ללחוץ על העדשה חזק יותר כדי להגדיל את העוצמה האופטית שלה, אבל יש לכך גבול. זו הסיבה מדוע קשה להתמקד על אובייקט שהמרחק ממנו לעין קטן מ- 25 ס"מ לערך: עבור אובייקט הנמצא במרחק קטן יותר, שרירי העין לא מסוגלים להגדיל את העוצמה האופטית של העדשה במידה הנדרשת כדי לייצר דמות של האובייקט על הרשתית. [↩]
5. גם אם גודל האובייקט כן משתנה במציאות, עדיין הגודל הנדמה לנו ישאר זהה אם גודל הדמות על הרשתית לא ישתנה. הנה דוגמה פשוטה: הקוטר של הירח, ולכן הגודל הפיזי שלו, הוא כ- 3500 ק"מ. הקוטר של השמש, ולכן הגודל הפיזי שלה, הוא 1.4 מיליון ק"מ. לעומת זאת, הגודל הנדמה של הירח והשמש זהה. כלומר, השמש והירח נראים לנו בשמיים כאילו הם באותו גודל. אמנם השמש גדולה יותר, אבל היא גם רחוקה יותר, ובדיוק במרחק המתאים כך שהיא נראית לנו באותו גודל כמו הירח. זו הסיבה מדוע הירח גורם לליקוי חמה כל כך יפה: הוא מסוגל להסתיר את השמש אף על פי שפיסית הוא הרבה יותר קטן ממנה. כדי שהגודל הנדמה של שני אובייקטים יהיה זהה, צריך שהיחס בין הגודל הפיזי של האובייקט למרחק ממנו יהיה שווה. במילים אחרות: היחס בין קוטר השמש למרחק שלנו ממנה, שווה ליחס בין קוטר הירח למרחק שלנו ממנו. בשני המקרים, גודל הדמות של השמש או הירח על הרשתית זהה. [↩]
6. דוגמה נוספת ליכולת הראיה של סאורון ניתן למצוא בסוף הספר הראשון בטרילוגיה (חבורת הטבעת), לאחר שבורומיר מנסה לקחת את הטבעת מפרודו. פרודו מצליח לשים את הטבעת, הופך לרואה ואינו נראה, ונמלט (בורומיר מת זמן קצר לאחר מכן על ידי האורקים). פרודו רץ במעלה צלע ההר אל הפסגה הסמוכה, שם הוא מוצא פסל אבן בדמות כסא גדול (פסגה זו אכן שימשה כנקודת תצפית מאוישת בעבר, אך כעת היא נטושה). פרודו מתיישב על הכסא, אך בגלל שהוא עונד את הטבעת, הוא לפתע רואה את העין של סאורון מביטה בו, והוא מתמלא פחד ואימה. על פניו, נראה כי סאורון יכול לראות את פרודו מבחינה עקרונית. על פי המפות בספרים, הפסגה שעליה נמצא פרודו מרוחקת מהמגדל של סאורון כ- 415 ק"מ. כאמור לעיל, העין של סאורון מקצרת מבחינה אפקטיבית את המרחק הזה פי 3750, לכן סאורון רואה את פרודו כפי שהוא היה נראה לכם ממרחק של 110 מטרים (פרודו גם רואה את העין של סאורון, אבל זה רק בגלל שהוא עונד את הטבעת). יש רק בעיה אחת בכל העסק הזה. בדיקה מדוקדקת מראה שאין לסאורון קו ראיה ישיר עם פרודו בזמן שהוא יושב על הכסא בפסגת התצפית. הרי לא לחינם סאורון בחר במורדור, כי זו ארץ סגורה לחלוטין כמעט מכל הכיוונים: רכס הרי-האפר תוחם אותה מצפון, ורכס הרי-הצל תוחם אותה ממערב ומדרום. הפסגות של רכס הרי-הצל מתנשאות לגובה טיפוסי של 2000 מטרים, ולמעשה חוסמות קו ראיה ישיר בין סאורון לבין הפסגה שעליה יושב פרודו. לכן אין לסאורון קו ראיה ישיר החוצה ממורדור. [↩]