הפיזיקה של העין (חלק ב'): מהו כושר ההפרדה של סָאוּרוֹן?

בפוסט הקודם הסברתי קצת על הפיזיקה של העין, בפרט בהקשר של אופטיקה גיאומטרית. בעיקר התמקדתי בתכונות הבסיסיות של עדשת העין, וגם הסברתי על הקשר בין הגודל הפיזי של האובייקט שעליו אנו מסתכלים לבין גודל הדמות של האובייקט שעדשת העין יוצרת על הרִשְׁתִּית, וכיצד גודל הדמות ברשתית משפיע על הגודל הנִדְמֶה של האובייקט.

אבל הדובדבן שבקצפת הגיע כאשר ראינו כיצד ניתן לחשב את ההגדלה של העין של סָאוּרוֹן, הנבל המרושע מסדרת שר הטבעות. כזכור, העין של סאורון נמצאת בראש מגדל גבוה, ומראש המגדל סאורון משקיף על כל הנעשה בארץ מוֹרְדוֹר. בשורה התחתונה של הפוסט הקודם, הגענו למסקנה כי העין המפלצתית של סאורון מאפשרת לו לראות אובייקטים בהגדלה של פי 3750 בהשוואה לעין האנושית.

אבל! זה בדיוק הרגע המתאים לחדש לכם תובנה חשובה מאוד באופטיקה:

הגדלה זה לא הכל בחיים!

יש נתון נוסף שצריך לקחת בחשבון, והוא נקרא: כושר ההפרדה (Resolving power),¹ ולנושא זה מוקדש הפוסט הנוכחי. ניתן לומר כי שתי התכונות הללו יחד – הגדלה וגם כושר הפרדה – אלו שתי התכונות החשובות ביותר בכל מערכת אופטית, ולא משנה אם מדובר במצלמה, בטלסקופ, במיקרוסקופ או בעין שלנו.

אז אם גם לכם יש פינה חמה בלב לשר הטבעות, וגם מעניין אתכם לדעת עוד על הפיזיקה של העין האנושית ואיך היא עובדת מבחינה אופטית, אז הגעתם למקום הנכון. בפוסט הנוכחי אסביר מה זה בדיוק כושר הפרדה, איך לחשב אותו, וכמובן – איך אפשר שלא – אנסה לחשב את כושר ההפרדה של סאורון.

הגודל לא קובע

כדי להבין היטב מה זה בדיוק כושר ההפרדה של מערכת אופטית, נחזור לרגע לתכונה הראשונה שעליה דיברנו בפוסט הקודם: הגדלה.

המושג הגדלה הוא די אינטואיטיבי וברור לכולנו: עד כמה מסוגלת המערכת האופטית להגדיל את האובייקט שעליו אנו מסתכלים. כל אחד יכול בקלות להיכנס לחנות של אמזון ולקנות טלסקופ עם הגדלה של פי 200, פי 400 או פי 700. המשמעות של הפרמטר הזה ברורה: אם למשל נסתכל על מאדים דרך הטלסקופ, אז ככל שההגדלה של הטלסקופ יותר גדולה, כך מאדים יראה לנו יותר גדול. פשוט. כל האמור נכון גם לגבי מיקרוסקופ: ככל שההגדלה גבוהה יותר, כך תאים ושאר יצורים מיקרוסקופיים יראו יותר גדולים.

אבל! ופה מגיע הפאנץ'-ליין:

גם אם אובייקט נראה לנו גדול יותר דרך המיקרוסקופ, זה לא מבטיח לנו שנראה את האובייקט באופן חד וברור!

הדרך הטובה ביותר להמחיש זאת היא להסתכל בסרטון הבא, בו ניתן לראות זום-אין (Zoom-in) על עין של יתוש שנמצא תחת המיקרוסקופ. בזמן שאתם מסתכלים על הסרטון, שימו לב כיצד אנו מגבירים לאט לאט את ההגדלה של המיקרוסקופ ובו זמנית אנו חושפים פרטים יותר ויותר קטנים בעין של החרק; כלומר: אנו למעשה מגלים את מבנה העין של היתוש. אבל שימו לב כי החל מרגע מסוים (ב- 0:35 בערך), זה כבר לא משנה כמה אנחנו ממשיכים להגדיל את התמונה, האובייקטים הקטנים שעליהם אנו מסתכלים נשארים מטושטשים, ופרטים חדשים – קטנים יותר – מפסיקים להיחשף:

בשלב זה אתם כבר בטח מנחשים לאיפה כל העסק הולך… על פי הסרטון, נראה כי אפשר לחשוב על כושר ההפרדה בתור סוג של גבול שמעבר לו אין יותר טעם להמשיך ולהגדיל את האובייקט, זה לא תורם שום דבר. במילים אחרות: ניתן לומר כי קיים גבול מסוים שאם עדיין לא חצינו אותו, אז אנחנו יכולים להגדיל את האובייקט עוד ועוד ובו-זמנית יופיעו לעינינו פרטים יותר ויותר קטנים בתמונה. אבל ברגע שחצינו את הגבול הנ"ל, אנו נגלה כי זה חסר טעם להמשיך ולהגדיל את האובייקט, פרטים חדשים כבר לא מופיעים והכל נשאר מטושטש. בסרטון לעיל ניתן לראות זאת בבירור:

1. מיד בתחילת הסרטון ניתן לראות כיצד העין של היתוש מוגדלת במידה כזו, כך שניתן לראות כי היא מורכבת מהמון כדורים קטנים המסודרים במבנה צפוף. ברור כי לא היינו מסוגלים לראות את המבנה הזה ללא הגדלת המיקרוסקופ.
2. בשלב הבא, אנחנו ממשיכים להגדיל את העין של היתוש, ומגלים שכל אחד מהכדורים הנ"ל, הוא עצמו מורכב ממקבץ של כדורים קטנים עוד יותר! במילים פשוטות: עדיין לא חצינו את הגבול של כושר ההפרדה של המיקרוסקופ, כי עובדה שאנו מגדילים את האובייקט ומיד מזהים עוד ועוד פרטים קטנים יותר.
3. בשלב האחרון, אנחנו ממשיכים להגדיל את האובייקט, אבל מגלים כי הכדורים הקטנטנים שגילינו בשלב הקודם, כעת נראים באופן מטושטש ולא ברור, כלומר: חצינו את הגבול של כושר ההפרדה. גם אם נמשיך להגביר את ההגדלה עוד ועוד זה לא יעזור, כי המבנה הפנימי של אותם כדורים אינו נחשף ופרטים קטנים יותר מפסיקים להופיע.

לסיכום, באופן אינטואיטיבי ניתן לחשוב על כושר ההפרדה בתור הגבול שמבדיל בין שני תחומים:

1. תחום ההגדלה השימושית (Useful magnification): היכן שתוספת הגדלה גוררת גם תוספת בפרטים,
2. תחום ההגדלה הריקה (Empty magnification): היכן שתוספת הגדלה אינה גוררת תוספת בפרטים.

כל האמור לעיל נכון לכל מערכת אופטית, וזה לא משנה אם אתם מסתכלים על יתוש דרך מיקרוסקופ או על מאדים דרך טלסקופ. כצפוי, ניתן למצוא באינטרנט טלסקופים ביתיים למכירה עם הגדלות "מטורפות", אבל כשבוחנים יותר לעומק את האופטיקה של המכשיר מגלים כי הטלסקופ מתפקד הרבה מעבר לתחום ההגדלה השימושית שלו. הנה דוגמה לטלסקופ שמצאתי בזאפ, בקישור כאן:

מצד אחד, הטלסקופ מבטיח הגדלה מקסימלית של עד פי 700. מצד שני, לטלסקופ יש עדשה קדמית בקוטר 60 מ"מ, ועם עדשה כזו אתם תגלו כי ההגדלה השימושית שלו היא עד פי 150 בערך, לא יותר.² כל הגדלה נוספת ואתם כבר נכנסים לתוך תחום ההגדלה הריקה. אם למשל תסתכלו על הירח עם הטלסקופ הזה מעבר להגדלה של פי 150, אז הוא אולי יראה לכם יותר ויותר גדול, אבל פני השטח שלו יישארו מטושטשים.

קריטריון רַיְילִי

אוקיי, אז עכשיו יש לכם מושג אינטואיטיבי מה המשמעות של כושר ההפרדה. אבל מה נעשה אם נרצה לחשב בפועל את כושר ההפרדה של מערכת אופטית, למשל: העין שלנו? בשביל זה נצטרך להגדיר את כושר ההפרדה בצורה קצת יותר מדויקת.

הדרך לעשות זאת היא על ידי שימוש בכלל פיזיקלי הנקרא: קריטריון רַיְילִי, שנקבע על ידי הפיזיקאי הבריטי ג'ון וויליאם ריילי (1842-1919). במילים פשוטות, קריטריון ריילי קובע כי:

כושר ההפרדה של העין נקבע על ידי המרחק המקסימלי שעד אליו יכולה העין לזהות שני אובייקטים סמוכים, לפני שהעין תתחיל לראות את שניהם כאובייקט בודד.

המטרה בפוסט היא לעשות את החיים פשוטים, אז הנה דוגמה קלאסית מחיי היום-יום שכולכם מכירים:

נניח שאתם עומדים בלילה על כביש ישר וארוך ומתבוננים במכונית המתרחקת מכם. אתם יכולים בבירור לזהות את הפנסים האחוריים של המכונית הדולקים באור אדום. המרחק בין הפנסים הוא כרוחב מכונית סטנדרטית, כלומר כ- 180 ס"מ, לכן אין לכם שום בעיה לזהות את שני הפנסים בבירור. אבל ככל שהמכונית הולכת ומתרחקת מכם, כך נראה לכם שהפנסים מתקרבים אחד לשני. הם כמובן לא באמת מתקרבים – כי רוחב המכונית במציאות נשאר קבוע – אבל בגלל שהמכונית מתרחקת מכם, לעין שלכם נהיה יותר ויותר קשה לזהות את הפנסים כשני עצמים נפרדים. מעבר למרחק מסוים, לא תוכלו יותר לקבוע כי אכן מדובר בשני פנסים… שני הפנסים יראו לכם כפנס בודד אדום. במילים אחרות:

הגעתם לקצה גבול יכולת ההפרדה של העין.

ריילי פיתח נוסחה מאוד פשוטה שבאמצעותה ניתן לחשב בפועל את כושר ההפרדה:

\(\displaystyle \delta =D\cdot \frac{\lambda }{d}\)

כאשר \(D\) זה המרחק לאובייקט, \(\lambda\) זה אורך הגל של האור הנפלט מהאובייקט, ו- \(d\) זה הקוטר של האישון שדרכו נכנס אור לתוך העין. התוצאה \(\delta\) זה גבול כושר ההפרדה של העין, כלומר: שני אובייקטים במרחק הקטן מ- \(\delta\), יראו לכם כאובייקט בודד.³

בואו ונראה איך קריטריון ריילי בא לידי ביטוי מבחינה מספרית באמצעות פנסי המכונית שתיארתי לעיל:

• נניח כי המכונית מרוחקת מכם \({D=1}\) קילומטר.
• לאור אדום יש אורך-גל של \({\lambda=700}\) ננומטר.
• קוטר האישון של העין האנושית הוא כ- \({d=6}\) מ"מ.⁴
• אם נכפיל את המרחק למכונית \(D\) באורך הגל \(\lambda\) ונחלק בקוטר האישון \(d\) נקבל: \({\delta=11.5}\) ס"מ.
• בגלל שהמרחק האמיתי בין פנסי המכונית הוא \({180}\) ס"מ (רוחב המכונית), המסקנה היא כי לא תהיה לכם שום בעיה לזהות את הפנסים כשני אובייקטים נפרדים.

אבל אם תחזרו על החישוב כאשר המרחק למכונית הוא \({D=20}\) ק"מ, אתם תגלו שמרחק ההפרדה הוא כעת \({\delta=233}\) ס"מ. במקרה זה, הפנסים יראו לכם כפנס אחד בודד, כי המרחק האמיתי ביניהם קטן מיכולת ההפרדה.⁵

מכל מקום, מנוסחת ריילי ברור כי קוטר האישון משחק תפקיד מרכזי:

ככל שקוטר האישון \(d\) גדול יותר, כך יכולת ההפרדה \(\delta\) טובה יותר.

אַרַגּוֹרְן, אני רואה אותך!

כעת הגענו למה שבאמת מעניין… כזכור, לקראת סוף הסרט השלישי בטרילוגית שר הטבעות, ארגורן וגנדלף וכל שאר החברה הטובים מכנסים צבא גדול ויוצאים למלחמה מול צבאותיו של סאורון. המלחמה מתרחשת בשער השחור, נקודת הכניסה הצפונית וגם היחידה למורדור. ממש לפני תחילת הקרב, השער השחור נפתח, וסאורון מביט בגנדלף ובארגורן ישירות.

בפוסט הקודם כבר ראינו כי כי לסאורון יש הגדלה מטורפת; אף על פי שסאורון מרוחק מהקרב כ-160 ק"מ, הוא רואה את גנדלף וארגורן באותו גודל כמו שאתם הייתם רואים אותם אילו הייתם עומדים כ-40 מטרים משם. אבל לאור כל מה שלמדנו, השאלה המתבקשת היא: מהו כושר ההפרדה של סאורון? אולי הוא רואה את גנדלף בתור כתם מטושטש ולא ברור?

כדי לענות על השאלה הזו, נצטרך להעריך את גודל האישון של סאורון. זה החלק הקל, כי בפוסט הקודם כבר ראינו כי העין כי של סאורון נמצאת בראש המגדל שלו בתוך מבנה דמוי מזלג בעל שתי-שיניים, כאשר המרחק בין שיני המזלג הוא בערך 150 מטרים. האישון של סאורון אינו עגול (כמו בעין אנושית), אלא יש לו אישון בצורה של חריץ (כמו אישון של חתול).⁶ מהתמונה למעלה ניתן לראות כי גובה האישון של סאורון הוא בערך חמישית מהמרחק בין שיני המזלג, כלומר: כ- 30 מטרים, ורוחב האישון הוא בערך חמישית מגובהו, כלומר: כ- 6 מטרים (סתם לידע כללי, זה בערך כמו קוטר העדשה של טלסקופ החלל ג'יימס ווב).

כזכור, כושר ההפרדה תלוי בגודל האישון, לכן מיד ניתן להסיק כי יכולת ההפרדה של סאורון בציר האנכי טובה יותר מאשר בציר האופקי. בנוסף, נוכל לחשב את כושר ההפרדה שלו על ידי נוסחת ריילי, באופן הבא:

• המרחק בין העין של סאורון אל הקרב בשער השחור הוא \({D=160}\) קילומטר.
• ספקטרום האור הנראה נע בין 380 ננומטר (אולטרה-סגול) לבין 740 ננומטר (אינפרה-אדום), אז לצורך החישוב ניקח את אורך הגל הממוצע: \({\lambda=560}\) ננומטר.
• קוטר האישון של סאורון הוא כ- \({d=6}\) מטרים (נלך על הצד המחמיר, ונשתמש ברוחב האישון ולא בגובה שלו).
• אם נכפיל את המרחק \(D\) באורך הגל \(\lambda\) ונחלק בקוטר האישון \(d\) נקבל כי כושר ההפרדה של סאורון הוא: \({\delta=15}\) מ"מ.

זה מטורף !!!

אתם מבינים מה זה אומר? זה אומר כי שני אובייקטים יכולים להיות קרובים אחד לשני עד כדי 15 מ"מ, ועדיין סאורון יכול להבחין כי אכן מדובר בשני אובייקטים נפרדים! לצורך הענין, כאשר סאורון מסתכל על ארגורן, הוא מסוגל לזהות ולהבדיל בין הנחיריים שלו !!!

יוצא אם כן, שסאורון לא רק רואה את ארגורן בהגדלה מטורפת (פי 3750 מהגדלה של עין אנושית), הוא גם רואה אותו באופן חד, וכל תווי הפנים העיקריים שלו די ברורים.

סיכום ותרגיל לשיעורי בית

אם הגעתם עד כאן, ואתם קוראים שורות אלה, אז אין ספק שיש לכם חשק לתרגיל בית קצר. את יכולות הראיה של סאורון כבר חקרנו לעומק, אבל השאלה המתבקשת היא:

מה לגבי לֵגּוֹלַס, האלף החתיך שמצטרף למסע להשמדת הטבעת?

כידוע, בספרי שר הטבעות לגולס מתואר כבעל ראיה מעולה, והוא מדגים זאת בפועל. בתחילת הספר השני (שני הצריחים), ארגורן מבקש מלגולס לקבוע להיכן מועדות פניהם של האורקים שחטפו את שני ההוביטים המסכנים.⁷ לגולס מתבונן למרחק, ועל פי המתואר בספר הוא אכן מזהה חבורה של רוכבי סוסים ממרחק של 24 ק"מ. בנוסף, הוא מצליח לספור אותם במדויק – 105 רוכבים! – ואפילו מסוגל לזהות שהמנהיג שלהם גבוה משאר הרוכבים.

האם זה ייתכן? כלומר, בהנחה שהפיסיולוגיה של העין של לגולס לא שונה מעין אנושית (כפי הנראה), האם הוא באמת מסוגל לספור את הרוכבים ולהבחין בגובה שלהם? נסו בעצמכם לחשב את כושר ההפרדה של לגולס ולגלות… את התשובה תוכלו למצוא בקישור כאן.

1. למונח הנ"ל יש "שמות נרדפים" כמו: Angular resolution, או: Optical resolution. [↩]
2. בתור כלל אצבע, ההגדלה השימושית המקסימלית של טלסקופ היא בערך פי 60 מקוטר העדשה באינצ'ים. לכן אם עדשת הטלסקופ היא 60 מ"מ, או: 2.36 אינץ', אז ההגדלה השימושית המקסימלית היא: 2.36×60=142 [↩]
3. הנוסחה של ריילי כוללת גם הכפלה בפקטור 1.22, אך אני לא נכנס כאן לפרטים מה מקור המספר הזה. [↩]
4. בחושך הקוטר גדל בהשוואה לאור יום, אז האישון נסגר מעט וקוטרו הוא כ- 3 מ"מ. [↩]
5. יתירה מזו, המכונית עצמה "תימרח" לגודל של 233 ס"מ. מדוע? זכרו כי רוחב המכונית הוא 180 ס"מ, אך יכולת ההפרדה שלכם היא 233 ס"מ. המשמעות היא כי כל אובייקט בגודל קטן יותר, יראה מטושטש ומרוח. במילים אחרות: במרחק של 20 ק"מ, לא משנה אם מדובר במכונית או באופנוע. שניהם יראו לכם כמו כתם עגול ומטושטש בקוטר של 233 ס"מ. [↩]
6. לאישון בצורה של חריץ יש טווח דינמי גדול יותר בכל ממה שקשור לפתיחה וסגירה של האישון ושינוי שטח האישון. לעין האנושית יש אישון עגול, ושרירי העין מסוגלים לפתוח ולסגור את האישון כך ששטח האישון משתנה בפקטור 15 לכל היותר. לחתולים ושאר חיות לילה יש אישון בצורה של חריץ, והם יכולים לשנות את שטח האישון בפקטור של 200 בערך. [↩]
7. לא מדובר בפרודו וסאם, אלא בפיפין ומרי. [↩]