בעיית שלושת הגופים: עושים סדר בכאוס

במרץ השנה עלתה לשידור ברשת נטפליקס סדרת מדע-בדיוני הנקראת: בעיית שלושת הגופים. גם סדרת מדע בדיוני, גם הרבה פיזיקה מסביב לעלילה, וגם חבורת פיזיקאים בתפקיד הראשי… מה יכול להיות יותר טוב מזה?

אם ראיתם כבר את הסדרה, מעולה. אם אתם מתכוונים לראות אותה, מצוין (וגם אם לא, אז לא נורא). כך או אחרת, מספיק אם נתמקד רק בשם של הסדרה עצמה כדי שנוכל ללמוד פיזיקה יפה באופן בלתי רגיל.

אז מה המשמעות של שם הסדרה? מהי בעיית שלושת הגופים מבחינה פיזיקלית? ייתכן ושמעתם בעבר על "בעיית שלושת הגופים" כביטוי המתאר בעיה שבלתי אפשרי לפתור. האמנם?

ובכן, כן ולא… כבר מצאנו פתרונות לבעיה אבל לא בסגנון ובכמות שרצינו. אז שמעתם פעם על הבעיה אבל אין לכם מושג במה בדיוק מדובר, הגעתם למקום הנכון. להלן אסביר לכם לפרטי פרטים כל מה שאתם צריכים לדעת על הפיזיקה המדהימה של בעיית שלושת הגופים. מדובר בנושא מרתק מאין כמוהו, וטובי המוחות בהיסטוריה ניסו להתמודד עם פתרון הבעיה.

אוקיי, בואו נתחיל.

טובים השנים מן האחד

בעיית שלושת הגופים נולדה באופן רשמי כאשר לקראת סוף המאה ה-17 אייזק ניוטון פרסם את ספרו האלמותי: "עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע". בחיבור הנ"ל, ניוטון הציג את משוואת התנועה של גוף הנמצא תחת ההשפעה של כוח הכבידה, וכן ביטוי מתמטי המתאר את כוח הכבידה עצמו.

חשוב לזכור כי כוח הכבידה שפועל על גוף תמיד נגרם על ידי נוכחותו של גוף אחר, לכן הבעיה המתבקשת שניוטון מיד ניסה לפתור היא למצוא ביטוי מתמטי המתאר את מסלול התנועה של שני גופים תחת ההשפעה ההדדית של כוח הכבידה שכל גוף מפעיל על חבירו. בעיה זו נקראת באופן רשמי:

בעיית שני הגופים

דוגמה קלאסית לבעיה שכזו היא למשל מציאת המסלול של כוכב הלכת צדק סביב השמש. יש להדגיש כי במקרה זה אנו אמנם אומרים כי צדק נמצא במסלול סביב מרכז השמש, אך מדובר בפּשּׁוּט-יתר. ניוטון מצא כי שני הגופים – צדק והשמש – כל אחד נע במסלול אליפטי סביב נקודה משותפת הנקראת: מרכז-המסה. בגלל שהמסה של השמש הרבה יותר גדולה מאשר המסה של צדק, נקבל כי נקודת מרכז-המסה נמצאת קרוב מאוד לשמש, אך עדיין מחוצה לה.¹ באנימציה הבאה ניתן לראות הדגמה איכותית של המסלול האליפטי של צדק והשמש סביב נקודת מרכז-המסה של שניהם יחד:

כאמור לעיל: בעיה זו נקראת בעיית שני הגופים, וניוטון פתר אותה באופן מדויק ואנליטי, כלומר: ניוטון מצא ביטוי מתמטי – או: נוסחה – שלתוכה ניתן להכניס את המיקום והמהירות של שני הגופים ברגע התחלתי כלשהוא, ובעקבות כך ניתן באמצעות הנוסחה לחשב את המיקום והמהירות של שני הגופים בכל זמן עתידי שנבחר.

עוד גוף אחד ודי…

קל לנחש כי ניוטון מיד הפשיל שרוולים וניסה לתקוף את הבעיה הבאה בתור:

בעיית שלושת הגופים

במילים פשוטות: מציאת ביטוי מתמטי המתאר את מסלוליהם של שלושה גופים הנתונים תחת ההשפעה ההדדית של כוח הכבידה זה על זה. קל לראות כי זו בעיה בעלת חשיבות עליונה; תנועת הירח סביב כדור הארץ ותנועת שניהם סביב השמש, היא למעשה בעיה הכוללת שלושה גופים. בנוסף, מערכת השמש עצמה כוללת יותר מכוכב-לכת אחד, וחייבים לקחת בחשבון את ההשפעה ההדדית שיש לכוכבי-הלכת אחד על השני וגם על השמש עצמה.

ניוטון אכן ניסה את כוחו בלפתור את בעיית שלושת הגופים, אך בפועל לא הצליח (בהמשך נראה כי ניוטון לא אשם בכישלון). זכרו כי "הצלחה" בהקשר זה פירושה מציאת ביטוי מתמטי שבאמצעותו ניתן לחשב במדויק את מסלולי הגופים בכל רגע בעתיד, בהינתן המיקום והמהירות שלהם ברגע אחד נתון.²

בגלל החשיבות שלה לאסטרונומיה בכלל ולהבנת מערכת השמש בפרט, בעיית שלושת הגופים הפכה להיות סוג של "גביש קדוש", וטובי המוחות ניסו לפתור אותה במאה השנים שלאחר פרסום ספרו של ניוטון. עם השנים, הושגה הצלחה חלקית על ידי כך שנמצאו פתרונות לבעיה במקרים פרטיים בלבד, כפי שנראה להלן.

התקדמות משמעותית הושגה לקראת סוף המאה ה-18 כאשר המתמטיקאי השוויצרי לאונרד אוֹילֶר (1707-1783) מצא פתרון אנליטי מלא למסלול התנועה של גוף הנמצא תחת השפעת כוח הכבידה של שני גופים אחרים שמיקומם קבוע במרחב. במילים פשוטות: אוילר מצא פתרון לבעיית שלושת הגופים במקרה הפרטי שבו רק גוף אחד בלבד רשאי לנוע.³

במבט ראשון, הישג זה לא נראה מרשים במיוחד שהרי הוא אינו מציאותי כלל; אין בחלל גופים שמקובעים לנקודה אחת ספציפית ללא תנועה.⁴ מכל מקום, אוילר לא עצר כאן ולאחר מכן מצא גם פתרון מלא לבעיית שלושת הגופים במקרה פרטי אחר יותר מציאותי, והוא: כאשר שלושת הגופים נמצאים בכל רגע נתון על קו ישר משותף, כפי שניתן לראות באנימציה הבאה:

מספר שנים לאחר מכן, המתמטיקאי האיטלקי ג'וזף-לואי לגראנז' (1736-1813) מצא פתרון נוסף לבעיה במקרה שבו שלושת הגופים נמצאים בכל רגע נתון על אחד מקודקודיו של משולש שווה צלעות, כך:

ווריאציה נוספת של הפתרון המבוססת על תנאי זהה ניתן לראות באנימציה הבאה. שימו לב כיצד גם במקרה זה כל שלושת הגופים נמצאים בכל רגע נתון על קודקודיו של משולש שווה צלעות:

זה כאוס מוחלט מה שהולך פה…

ההתקדמות המשמעותית ביותר, לפחות בהקשר של הבנת הבעיה עצמה, הגיעה בסוף המאה ה-19 כאשר המתמטיקאי הצרפתי אַנְרִי פּוּאַנְקָרֶה (1854-1912) הוכיח כי בעיית שלושת הגופים במקרה הכללי אינה ניתנת לפתרון אנליטי. במילים פשוטות: אם נתונים שלושה גופים ולא קיים אילוץ על המיקום והמהירות ההתחלתיים שלהם, או על המסות שלהם, במקרה הכללי הנ"ל לא ניתן למצוא נוסחה או ביטוי מתמטי שיתארו במדויק את מסלולי הגופים בכל רגע נתון בעתיד. אפשר לומר כי פואנקרה למעשה הוכיח מדוע ניוטון נכשל בפתרון הבעיה, ומדוע אוילר ולגראנז' הצליחו למצוא פתרון רק במקרים פרטיים, כלומר: מקרים בהם יש אילוץ כלשהוא על התנאים ההתחלתיים של שלושת הגופים.⁵

להוכחה של פואנקרה יש חשיבות עצומה למתמטיקה ולפיזיקה שלאחר מכן, כי פואנקרה למעשה נתקל לראשונה במערכת כאוטית. פואנקרה גילה כי במקרה הכללי, מסלולי שלושת הגופים לא מתכנסים לתבנית מחזורית כלשהיא, ועם הזמן המסלולים הופכים להיות בלתי-צפויים. כל שינוי קטן ביותר במסות, במיקום או במהירות ההתחלתית של כל אחד מהגופים, יגרום עם הזמן לשינוי גדול מאוד במסלול העתידי של כל גוף. באנימציה הבאה ניתן לראות התנהגות כאוטית טיפוסית של שלושה גופים תחת השפעת כוח הכבידה. מסלולי הגופים ישתנו לחלוטין אם נשנה אפילו במעט את המיקום, המהירות או המסה ההתחלתית של אחד מהגופים:⁶

מספר שנים לאחר תגליתו של פואנקרה, המתמטיקאי הפיני קַרְל סוֹנְדְּמֵן (1873-1949) הצליח למצוא "פִרְצָה" בהוכחה של פואנקרה. מסתבר כי פואנקרה הוכיח שלא ניתן למצוא ביטוי אנליטי סופי למקרה הכללי של בעיית שלושת הגופים, כלומר: לא ניתן למצוא ביטוי שכולל בתוכו מספר סופי של פונקציות. סונדמן לעומת זאת, דווקא הצליח למצוא ביטוי אנליטי המורכב מטור אינסופי של פונקציות חֵזְקָה. טור החזקות האינסופי מתכנס לפתרון מדויק אם ניקח בחשבון את כל אינסוף האיברים בטור, אך ברור כי פעולה זו אינה מעשית, לכן המקסימום שאפשר לעשות זה להתחשב במספר סופי של איברים בטור ולקבל פתרון מקורב. מכל מקום, טור החזקות של סונדמן מתכנס לפתרון מאוד לאט, כלומר: כדי להגיע לפתרון מקורב אפילו ברמה סבירה, יש לסכום מספר אסטרונומי של איברים בטור החזקות, מה שהופך את הפתרון של סונדמן למדהים מבחינה מתמטית, אך חסר כל שימוש מעשי.

והחוט המשולש לא במהרה ינתק

לאחר שהתברר כי בעיית שלושת הגופים אינה ניתנת לפתרון אנליטי סופי, האתגר למצוא מקרים פרטיים של הבעיה שמניבים פתרונות מחזוריים הפך להיות סוג של תחביב; מעין "איסוף בולים מתמטי-פיזיקלי" שכזה. לדוגמה: בשנת 2013 פיזיקאים הציגו 13 מסלולים מחזוריים לבעיית שלושת הגופים, ולאחר מכן בשנת 2017 נוספו 669 מסלולים שכאלה. ב-2018 נוספו עוד 1223, ובשנת 2023 נוספו מספר שיא של 12,409 מסלולים.⁷ באנימציה להלן תוכלו לראות מקבץ טיפוסי של פתרונות מחזוריים שכאלה, פתרונות היוצרים תבניות יפות מאוד:⁸

מבין כל הפתרונות המחזוריים שנמצאו קיים מקרה אחד הראוי לציון, בו שלושת הגופים נעים באופן מחזורי לאורך מסלול בודד שנראה כמו הספרה 8, כפי שניתן לראות באנימציה הבאה:

פתרון זה בולט במיוחד כי הוא פתרון הנקרא: פתרון יציב. במילים פשוטות: מסלול הגופים אינו רגיש כל כך להפרעות קטנות יחסית שיכולות להשפיע על תנועת הגופים. זאת בניגוד לפתרונות המחזוריים שראינו לעיל, שהם פתרונות לא-יציבים, וכל הפרעה קטנה למהירות של אחד מהגופים יכולה לפרק את המערכת לחלוטין ולהחזיר את הגופים למסלול כאוטי. מסיבה זו, פתרונות לא יציבים – אפילו שהם מחזוריים – לא יכולים להתקיים במציאות; פתרונות אלה קיימים אך ורק בעולם המתמטי, אך אין סיכוי שהם יחזיקו מעמד בפועל אי שם בחלל.

לעומת זאת, יש סיכוי כי בעתיד נמצא אי שם בחלל שלושה גופים שלכודים במסלול הנראה כמו הספרה 8!

כשמאדים יתנגש בכדור הארץ

אוקיי, אז אם לבעיית שלושת הגופים אין פתרון אנליטי, אז איך פיזיקאים מתמודדים עם מערכת השמש? איך אנו מסוגלים לחשב את המסלולים של פלנטות, ירחים וכוכבי-שביט? הרי ברור כי במערכת השמש יש יותר משלושה גופים. עם כל הכבוד לפתרונות המחזוריים שראינו לעיל, כולם עוסקים במערכת עם שלושה גופים בלבד, אך ככל שמספר הגופים במערכת גדול יותר, כך קשה יותר עד כמעט בלתי אפשרי למצוא פתרון יציב או מחזורי.

ובכן, במערכת השמש אנו נהנים משתי עובדות חשובות שמשחקות לטובתנו ומייצבות את העסק, והן:

1. המסה של השמש היא בהפרש ניכר המסה הגדולה ביותר במערכת בהשוואה לשאר הגופים.
2. כוכבי הלכת שמקיפים את השמש מספיק מרוחקים זה מזה, לכן ההשפעה ההדדית ביניהם מבחינה גרביטציונית אינה מאוד גדולה.

כך נוצר מצב בו ניתן לומר כי המסלול של כוכב לכת ספציפי נקבע בעיקר על ידי כוח הכבידה של השמש. כעת נוכל למצוא בנפרד ובאופן מדויק את המסלול של כל כוכב-לכת סביב השמש, כאילו אותו כוכב לכת נמצא לבדו במערכת השמש ואין שום גוף אחר שמשפיע עליו. לאחר שמצאנו את המסלול, ניתן כעת להתחשב בהשפעה הקטנה שיש לכוכבי-הלכת האחרים עליו, ועל ידי כך לבצע "תיקונים" קטנים למסלול המקורי שלו.

אפשרות נוספת היא לבודד שלושה גופים במערכת השמש, כך שהמסה של גוף אחד קטנה משמעותית משני הגופים האחרים. באופן כזה ניתן לפתור את המערכת על ידי כך שמתעלמים מכוח הכבידה שמפעיל הגוף הקטן על שני הגופים הגדולים, מה שמאפשר לנו לחשב בקירוב טוב כיצד מושפע המסלול של הגוף הקטן בעקבות הנוכחות של שני הגופים האחרים. דוגמה קלאסית לכך היא מערכת שמש-צדק-ארץ, בה ניתן בקירוב טוב להזניח את השפעת כדור הארץ על השמש ועל צדק, ועל ידי כך להבין טוב יותר כיצד מושפע המסלול של כדור הארץ בעקבות הנוכחות של צדק.

כוח-חישוב אסטרונומי (תרתי משמע)

עד כה עסקנו בפתרונות "עבודת-יד" לבעיית שלושת הגופים. עד אמצע המאה הקודמת, זו פחות או יותר הדרך שבה מתמטיקאים ופיזיקאים יכלו להתמודד עם הבעיה: באמצעות עיפרון ודף נייר, בתוספת מידה לא קטנה של גאונות. אלא שבמחצית השנייה של המאה ה-20 נכנס שחקן מפתח למגרש, וקוראים לו: מחשב.

ברגע שקיבלנו ביד מכשיר שמסוגל לבצע כמות עצומה של פעולות חישוב, כעת ניתן לתקוף את בעיית שלושת הגופים – או שלוש מאות הגופים, אם תרצו – בדרך אחרת לגמרי. כיום, מחשבי-על מסוגלים לנתח מערכות הכוללות כ-60 טריליון גופים!⁹ צורת הפתרון הנ"ל נקראת: פתרון נוּמֵרִי, ובשיטה זו אין בכלל צורך למצוא ביטוי מתמטי שמתאר את מסלולי הגופים במערכת, כי שיטת העבודה אחרת לגמרי.

כל מה שצריך לעשות הוא להגדיר למחשב את מצב המערכת כפי שהוא נכון לעכשיו, ובהתחשב בכוח הכבידה שמפעיל כל אחד מהגופים על כל השאר באותו רגע, המחשב מסוגל למצוא את מצב המערכת ברגע הבא, וחוזר חלילה. כך המחשב יכול לעקוב אחרי האבולוציה של המערכת מרגע אחד לרגע הבא, ומהרגע הבא לרגע שלאחר מכן, ועל ידי כך לנבא את המיקום והמהירות של כל גוף בכל רגע אחר שנרצה בעתיד.

המושג "רגע" בהקשר זה יכול להיות כל מרווח זמן שנרצה, קטן ככל שיהיה: דקה, שניה, או אלפית שניה. המגבלה היחידה כאן היא כוח החישוב: ככל שיש בידינו כוח חישוב גדול יותר, כך נוכל להתמודד עם מספר גופים גדול יותר, מרווחי זמן קצרים יותר, ועתיד רחוק יותר.

מכל מקום, מערכת עם יותר משני גופים היא עדיין מערכת כאוטית במקרה הכללי, ולכן גם מחשבי-על לא יכולים לנבא במדויק את מצב מערכת השמש לאחר כמה עשרות מיליוני שנים אל העתיד. מבחינה טכנית, המחשב יכול לספק לנו תוצאה גם לעתיד רחוק יותר, אך ממילא לא נוכל לסמוך על התוצאה, שהרי בכל סימולציה שנריץ המחשב יספק לנו תוצאה שונה. להזכירכם, במערכת כאוטית, כל שגיאה קטנה במדידת מצב המערכת היום, תגרום לסטיות גדולות מאוד במצב המערכת לאחר מספיק זמן.

אז איך אומרים: פרפר מנפנף בכנפיו בברזיל, וגורם לסופת טורנדו בטקסס. ואני אומר:

פרפר מנפנף בכנפיו בברזיל, וגורם לכדור הארץ להתנגש במאדים!

1. אם לוקחים בחשבון את כל הגופים במערכת השמש מגלים כי המיקום של נקודת מרכז-המסה של מערכת השמש משתנה עם הזמן ביחס למרכז השמש עצמה: לפעמים נקודת מרכז-המסה נמצאת מחוץ לשמש ולפעמים בתוכה. נקודת מרכז המסה (Center of mass) נקראת לעיתים גם: Barycenter, תלוי בהקשר. [↩]
2. פתרון שכזה נקרא: closed form solution, והוא חייב להיות מורכב ממספר סופי של פונקציות "רגילות", כגון: חזקה ושורש, פונקציות אקספוננציאליות, לוגריתמיות וטריגונומטריות וכו', המחוברות ביניהן בפעולות אריתמטיות פשוטות. [↩]
3. יש מקרים שבהם תנועת הגוף הנייד תהיה תנועה כאוטית אף על פי שהוא נע בקרבת שני גופים נייחים, אלא שאוילר מצא תנאים שבהם הגוף הנייד נע תחת מסלול מחזורי. [↩]
4. יש להדגיש כי אין זה מדויק לומר: "אינו מציאותי". במידה ושני גופים באמת מקובעים ללא יכולת לנוע, אז כוח הכבידה של הגוף השלישי אינו יכול להשפיע עליהם. אך גם אם שני הגופים כן יכולים לנוע, עדיין ניתן להזניח את השפעת כוח הכבידה של הגוף השלישי במידה והמסה שלו קטנה משמעותית משני הגופים האחרים. מצב שכזה נקרא: בעיית שלושת הגופים המצומצמת (Restricted three body problem), ולכן ניתן להניח כי שני הגופים הגדולים נמצאים במסלול אליפטי פשוט (כי הגוף הקטן אינו משפיע עליהם). כעת ניתן לתאר את הבעיה באמצעות מערכת ייחוס מסתובבת כך שבמערכת ייחוס זו שני הגופים לא נעים כלל, ורק הגוף השלישי נמצא בתנועה, או אפילו במנוחה בנקודות הנקראות: נקודות לגראנז', ראו בקישור כאן (בעיה זו נקראת: Circular restricted three body problem). [↩]
5. רק למקרים הפרטיים שמצאו אוילר ולגראנז' יש פתרון אנליטי מפורש. [↩]
6. מבחינה מתמטית המערכת היא דטרמיניסטית, כלומר: תנאי ההתחלה של המערכת קובעים באופן מוחלט את העתיד שלה. בהינתן מסות הגופים, המיקום והמהירות ההתחלתיים שלהם, יש רק דרך אחת למערכת להתפתח ותנאי ההתחלה יקבעו באופן מלא את מסלולי הגופים בעתיד. אך העובדה שאין פתרון אנליטי לבעיה, יוצרת מצב בו ניתן לחזות את מסלולי הגופים רק באופן נומרי. שיטות נומריות תמיד כוללות בתוכן שגיאות חישוב ומדידה, ושגיאות אלה – אפילו שהן קטנות – מתנפחות עם הזמן ומשנות את מסלולי הגופים באופן שבלתי אפשרי לחזות מראש. [↩]
7. הכמויות שהוזכרו כאן לעיתים מציינות פתרונות יחידניים אך לעיתים הכמות מייצגת משפחות של פתרונות, שכל משפחה כוללת מגוון פתרונות דומים. [↩]
8. כל הפתרונות כאן עוסקים בשלושה גופים בעלי מסה זהה או דומה. ברגע שלגוף אחד יש מסה משמעותית קטנה יותר משני הגופים האחרים, ניתן להזניח את השפעת הכבידה של הגוף הקטן, ולשנמך את הבעיה חזרה לבעיית שני גופים פתירה. [↩]
9. ראו בקישור כאן [↩]