הניסיון האישי שלי לעזור לשטוחיסטים

בשנת 1687 אייזק ניוטון הציע הסבר פיזיקלי מדוע אובייקטים נופלים לקרקע. לפי ניוטון, אובייקט נופל לקרקע כי פועל עליו כוח כבידה שנוצר בגלל המסה של כדור הארץ. ליתר דיוק, כל שני גופים בעלי מסה מפעילים אחד על השני כוח כבידה, אך המסה של כדור הארץ הרבה יותר גדולה מהמסה של גוף הנמצא עליו – למשל: מכונית – ולכן דווקא המכונית נופלת אל כדור הארץ, ולא להיפך.

כיאה לפיזיקאי מדופלם, ניוטון לא הסתפק בתיאור איכותי בלבד של כוח הכבידה, אלא ניסח ביטוי מתמטי שמתאר את כוח הכבידה שפועל בין שני גופים. הביטוי קושר במדויק בין כוח הכבידה \(F\), מסות שני הגופים \({m}_{1}\) ו- \({m}_{2}\), והמרחק ביניהם \(r\). ניוטון קבע כי גודל הכוח פרופורציונלי למכפלת המסות של הגופים חלקי המרחק ביניהם בריבוע, עד כדי מספר קבוע \(G\) הנקרא: קבוע הכבידה. כך נראה הביטוי שניוטון הציע:

\(\displaystyle F=G\cdot \frac{{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}}{{{{r}^{2}}}}\)

מבט חטוף בחוק הכבידה של ניוטון, מעלה שאלה מתבקשת, והיא: כיצד ניוטון ידע כי כוח הכבידה אכן מציית מתמטית לביטוי הנ"ל? כיצד ניוטון ידע כי קיים בכלל כוח כבידה מלכתחילה? האם לניוטון הייתה התגלות נבואית שסיפרה לו את הסודות האלה? אולי ניוטון מצא פסוק בכתבי הקודש שקובע כי קיים כוח כבידה ודווקא כך הוא מתנהג?

התשובה הפשוטה לשאלות הנ"ל היא:

ניוטון ניחש.

כן כן, אני מתכוון לכך ברצינות: ניוטון שלף משרוול יד ימין את הקביעה כי קיים כוח כבידה, ומשרוול יד שמאל את הביטוי המתמטי המתאר אותו.

למה? ככה. מי נתן לו רשות לעשות זאת? אף אחד.

אם זה נשמע לכם מוזר, אז תתחילו להתרגל לעובדה שכך עובדת הפיזיקה: כדי להסביר תופעות, פיזיקאים מעלים היפותיזות כיד הדמיון הטובה עליהם, יש מאין. אלא שהזכות הזו מגיעה עם מחיר: לפיזיקאים אסור להסתפק בנפנופי ידיים כלליים, אלא חובה עליהם לתרגם את ההיפותיזה – או: הניחוש – למודל מתמטי הכולל בתוכו גדלים שניתן לכמת, למדוד ולהשוות לתוצאות המתקבלות כאשר עורכים תצפיות וניסויים. ריצ'רד פיינמן, חתן פרס נובל לפיזיקה לשנת 1965 ואחד הפיזיקאים הגדולים של המאה ה-20, מסביר זאת בצורה נפלאה:

ככלל, אנו מחפשים חוקים חדשים על פי התהליך הבא:

1. אנו מנחשים (אל תצחקו, כי זה באמת נכון).
2. לאחר מכן אנו מחשבים מה יהיו ההשלכות של הניחוש, ואלו דברים הניחוש מנבא.
3. לאחר מכן אנו משווים את התחזיות הללו לתוצאות המתקבלות בניסוי או בתצפית.
4. אם התחזית עומדת בסתירה לתוצאת הניסוי והתצפית, אז הניחוש שגוי.

כאן בדיוק נמצא המפתח למדע: זה לא משנה כמה הניחוש שלך יפה, זה לא משנה כמה אתה חכם, או איך קוראים לך; אם הניסוי עומד בסתירה לתחזית, הניחוש שגוי.

בשיטה זו אנו יכולים להפריך כל תיאוריה מוגדרת-היטב (כזו שניתן לכמת, למדוד ולהשוות לניסוי), למרות שאף פעם לא נוכל להוכיח שהתיאוריה נכונה, לכל היותר נוכל לומר שעדיין לא הוכחנו שהיא שגויה.

הניסוי של מחר עשוי להפריך את התיאוריה הקיימת, לכן אנחנו אף פעם לא צודקים, אנחנו רק יודעים שעדיין לא טעינו, ולכל היותר נוכל לומר כי התיאוריה נכונה באופן זמני בלבד.

זו הסיבה מדוע תיאוריה שאינה מוגדרת-היטב, תיאוריה מעורפלת, אי אפשר להוכיח שהיא שגויה. תיאוריה מעורפלת מסוגלת להסביר כל תופעה וכל תצפית, ועם מעט מיומנות ניתן לגרום לכל תוצאה ניסיונית להיראות כמו תוצאה צפויה.

הציטוט לעיל הוא עיבוד מקוצר מהקטע המלא בסרטון להלן. מומלץ מאוד לצפות, שווה זהב:

במסגרת מודל העולם השטוח, אין כוח כבידה, אך בכל זאת כולנו עדים לכך כי אובייקטים נופלים לקרקע. לאלה התומכים במודל העולם השטוח, יש הסבר פשוט לתופעה: בהיעדר כוח כבידה, אובייקטים נופלים מטה בגלל שיש הבדל בין הצפיפות של האובייקט הנידון לבין צפיפות התווך שבו הוא נמצא. אם צפיפות האובייקט גדולה מצפיפות התווך שבו הוא נמצא, אז יפעל עליו כוח "מטה", כלפי הקרקע השטוחה. אם צפיפות האובייקט נמוכה מצפיפות התווך בו הוא נמצא יפעל עליו כוח "מעלה", כלפי הרקיע. לשם הנוחות, נוכל לקרוא להסבר הנ"ל: חוק הצפיפות של השטוחיסטים, באותו אופן שבו אנו קוראים לניחוש של ניוטון: חוק הכבידה.

לכאורה, נראה כי הסבר זה של השטוחיסטים אכן תואם את מה שאנו רואים במציאות, לא כן? להלן שתי דוגמאות מוכרות לכולנו:

1. בול עץ נופל לקרקע כי צפיפות העץ גדולה מצפיפות האוויר שסביבו; לעומת זאת, בול עץ השקוע במים יצוף כלפי מעלה, כי צפיפות המים גדולה מצפיפות העץ.
2. בלון הליום השקוע במים יצוף מעלה, וימשיך לעלות מעלה גם באוויר, כי צפיפות גז הליום קטנה מצפיפות המים והאוויר גם יחד.

הטענה הנ"ל היא "הניחוש" שעליו מדבר פיינמן. בנקודה זו חשוב להדגיש: אין ניחוש פסול לכשעצמו! הניחוש של ניוטון לגבי חוק הכבידה שקול לניחוש של השטוחיסטים לגבי חוק הצפיפות. לכשעצמם, שני הניחושים "כשרים" ואין לדעת מראש מי מהם שגוי.

אך כאמור לעיל, המדע לא עוצר כאן: המתודה המדעית דורשת מכל ניחוש להרכיב מודל מתמטי שבאמצעותו ניתן יהיה לכמת ולחשב מה יהיו ההשלכות של כל ניחוש ומהן התחזיות שכל ניחוש מסוגל לנפק, כדי שנוכל להשוות בין התחזית לבין תצפיות בטבע ומדידות בניסוי. מכאן והלאה, מתחילה מעין תחרות בין הניחושים בסגנון של: "מי מגיע רחוק יותר", כלומר: איזה ניחוש מנפק תחזיות מדויקות יותר ומסביר מגוון רחב יותר של תופעות.

אמנם, ברור כי התחרות בכלל לא מתחילה אם לאחד מהניחושים אין בכלל מודל מתמטי שבאמצעותו ניתן לנפק תחזית שאותה נוכל לאמת באמצעות מדידה. באותה מידה אפשר להירשם לטורניר טניס ולהגיע בלי מחבט; אי אפשר להתקדם.

לכן אני קצת מרחם על השטוחיסטים; מצד אחד הם מציעים את חוק הצפיפות בתור הסבר פיזיקלי לתופעות היומיום, אך מצד שני הם תקועים ולא יכולים להתקדם לשום מקום, כי חוק הצפיפות שלהם נשאר בגדר "נפנופי ידיים", הסבר כללי ומעורפל שלא מתורגם לנוסחה מתמטית הכוללת פרמטרים שניתן לכמת ולמדוד.

אז הפשלתי שרוולים, והתגייסתי למשימה:

למה שלא אנסה לתרגם את חוק הצפיפות שלהם לאיזו נוסחה מתמטית שנוכל לעבוד איתה?

אולי אתם חושבים שאין טעם וחבל על המאמץ, אבל תחשבו שוב: למה לא לעשות להם את השירות הקטן הזה? איך אומרים: בואו וניתן להם מחבט! ככה הם לפחות יוכלו "לשחק" ואז לחטוף הפסד מוחץ… בלי מחבט הם נשארים על הספסל ועושים רעש כאילו הם אלופי עולם!

אוקיי, בואו ונתחיל, נראה לאן נגיע בסוף.

פונקציה של מה בדיוק?

אם נרצה לבנות מודל מתמטי על פי ההסבר הנ"ל, כבר בשלב הראשון נוכל לומר כי הכוח שיפעל על האובייקט יהיה פונקציה של הצפיפות שלו וגם של צפיפות התווך בו הוא נמצא. אנו לא יודעים עדיין כיצד הפונקציה המתמטית תראה בפועל, אך אנו כן יודעים כי הכוח יהיה תלוי בשני משתנים לפחות: צפיפות האובייקט וצפיפות התווך.

נסמן את הכוח שפועל על האובייקט באות \(F\), את צפיפות האובייקט באות \({{\rho }_{o}}\), ואת צפיפות התווך באות \({{\rho }_{m}}\), כך שנוכל לרשום כי הכוח \(F\) הוא פונקציה \(f\) של הפרמטרים \({{\rho }_{o}}\) ו- \({{\rho }_{m}}\), כך:

\(F=f\left( {{{\rho }_{o}},{{\rho }_{m}}} \right)\)

מעבר לעובדה כי הכוח צריך להיות תלוי בצפיפות האובייקט \ תווך, נרצה שגם עוצמת הכוח תשתנה בהתאם ליחס בין צפיפות האובייקט לצפיפות התווך, כלומר הכוח יהיה פונקציה של יחס הצפיפויות:

\(\displaystyle F=f\left( {\frac{{{{\rho }_{m}}}}{{{{\rho }_{o}}}}} \right)\)

ניתן לראות כי הפרמטר \(\frac{{{{\rho }_{m}}}}{{{{\rho }_{o}}}}\) הולך וגדל ככל שצפיפות האובייקט \({{\rho }_{o}}\) קטנה (במכנה) או שצפיפות התווך \({{\rho }_{m}}\) גדולה (במונה), ולהיפך: הפרמטר \(\frac{{{{\rho }_{m}}}}{{{{\rho }_{o}}}}\) הולך וקטן ככל שצפיפות האובייקט \({{\rho }_{o}}\) גדולה או שצפיפות התווך \({{\rho }_{m}}\) קטנה.

בשלב הבא, נצטרך שהמודל שלנו יכלול בתוכו הבחנה בין כיוונים שונים של הכוח.¹ למה הכוונה?

• במידה וצפיפות האובייקט הרבה יותר קטנה מצפיפות התווך, כלומר: \({{\rho }_{m}}\gg {{\rho }_{o}}\) , נצפה שיפעל על האובייקט כוח גדול כלפי מעלה, כלומר: \({F\gg 0}\) .
• במידה וצפיפות האובייקט הרבה יותר גדולה מצפיפות התווך, כלומר: \({{\rho }_{o}}\gg {{\rho }_{m}}\) , נצפה שעדיין יפעל על האובייקט כוח גדול, אך הפעם כלפי מטה, כלומר: \({F\ll 0}\) .
• במידה וצפיפות האובייקט שווה לצפיפות התווך, כלומר: \({{\rho }_{o}}={{\rho }_{m}}\) , נצפה שלא יפעל על האובייקט כוח כלל, כלומר: \({F=0}\) .

כעת נצטרך לחפש פונקציה שמקיימת את כל התכונות האלה, וזו היא הפונקציה הלוגריתמית, הנראית כך:

ניתן לראות כי:

• כאשר יחס הצפיפות גדול \({\frac{{{{\rho }_{m}}}}{{{{\rho }_{o}}}}\gg 1}\), כך הפונקציה מקבלת בהתאם ערך חיובי גדול \({F\gg 0}\), כלומר: כוח גדול כלפי מעלה.
• לעומת זאת, כאשר יחס הצפיפות קטן \({\frac{{{{\rho }_{m}}}}{{{{\rho }_{o}}}}\ll 1}\), כך הפונקציה מקבלת בהתאם ערך שלילי גדול \({F\ll 0}\), כלומר: כוח גדול כלפי מטה.
• כאשר צפיפות האובייקט והתווך שווים זה לזה: \({\frac{{{{\rho }_{m}}}}{{{{\rho }_{o}}}}= 1}\), נקבל כי הפונקציה מתאפסת \({F= 0}\), כלומר: לא פועל כוח כלל.

יוצא מכאן כי חוק הצפיפות של השטוחיסטים צריך ככל הנראה לקשר בין הכוח שפועל על האובייקט לבין הלוגריתם של היחס בין צפיפות האובייקט לצפיפות התווך, כך:

\(\displaystyle F={{\log }_{b}}\left( {\frac{{{{\rho }_{m}}}}{{{{\rho }_{o}}}}} \right)\)

כאשר \(b\) הוא בסיס הלוגריתם (תיכף ננסה לחשוב מה אמור להיות הערך שלו).

רגע, לא סיימנו, שהרי הביטוי הנ"ל חייב לכלול בתוכו "קבוע כיול", בדיוק כמו שקבוע הכבידה \(G\) מופיע בחוק הכבידה של ניוטון. לכן הכוח \(F\) יהיה פרופורציונלי לפונקציית הלוגריתם עד כדי קבוע כלשהו, שנוכל לסמן באות \(\gamma\), ונקבל:²

\(\displaystyle F=\gamma \cdot {{\log }_{b}}\left( {\frac{{{{\rho }_{m}}}}{{{{\rho }_{o}}}}} \right)\)

כל מה שנשאר הוא להחליט על הפרמטר \(b\), שהוא בסיס הלוגריתם. באופן כללי, תחומים שונים במדע מרשים לעצמם להשתמש או לבחור בסיסים שונים לפונקציות לוגריתמיות. למשל: במדעי המחשב מקובל להשתמש בבסיס \({b=2}\), או: בסיס בינארי, מסיבות מובנות. בהנדסה, בכלכלה ובשאר תחומים נוספים הדורשים חישובים מסוג זה, נהוג להשתמש בבסיס \({b=10}\), שהוא גם הבסיס המשמש בתור ברירת מחדל, אם לא צוין אחרת. למרבה המזל, יש לנו רשות להחליט בעצמנו באיזה בסיס נשתמש כי היחס בין שתי פונקציות לוגריתמיות עם בסיס שונה הוא תמיד מספר קבוע. במילים אחרות: גם אם נניח כי בסיס \({b=10}\) הוא הבסיס "הנכון", ואנחנו "בטעות" בחרנו בסיס \({b=2}\), בכל מקרה הפונקציה הלוגריתמית תשתנה עד כדי מספר קבוע, שאותו ממילא נוכל "לדחוף" לתוך קבוע הכיול \(\gamma\). עקב כך, נוכל פשוט לבחור באופן שרירותי את הלוגריתם הטבעי עם בסיס השווה למספר: \({e=2.718…}\), והפונקציה \(\displaystyle {{\log }_{e}}x\) תהפוך לפונקציה \(\displaystyle \ln x\).

כל זה מביא אותנו לביטוי הסופי הנראה כך:

\(\displaystyle F=\gamma \cdot \ln \left( {\frac{{{{\rho }_{m}}}}{{{{\rho }_{o}}}}} \right)\)

זהו, נגמרו התירוצים. יש לנו עכשיו שני חוקים מוגדרים היטב, כל אחד עם נוסחה משלו: מצד אחד, חוק הכבידה של ניוטון הטוען כי הכוח תלוי במסה ובמרחק; ומצד שני, חוק הצפיפות של השטוחיסטים הטוען כי הכוח תלוי ביחס בין צפיפות האובייקט לתווך:

חוק הכבידה של ניוטון	חוק הצפיפות של השטוחיסטים
\(\displaystyle F=G\cdot \frac{{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}}{{{{r}^{2}}}}\)	\(\displaystyle F=\gamma \cdot \ln \left( {\frac{{{{\rho }_{m}}}}{{{{\rho }_{o}}}}} \right)\)

אפשר לומר כי כעת יש לשטוחיסטים הזדמנות נפלאה, והיא: לנסות למדוד את הקבוע \(\gamma\), או "קבוע הצפיפות", כפי שקראנו לו קודם. מדובר בהישג בלתי רגיל, בדומה לקבוע \(G\) בחוק הכבידה של ניוטון, שהיה צריך למדוד אותו בפועל לאחר שניוטון הציע את קיומו. גם כאן, יש לשטוחיסטים הזדמנות למדוד קבוע טבע חדש לחלוטין!

אם הם רק יואילו בטובם להרים את הכפפה…

1. בחירת הסימן המתמטי של הכיוון היא שרירותית: ניתן למשל לבחור כי הכיוון מעלה יהיה מיוצג על ידי גדלים חיוביים והכיוון מטה על ידי גדלים שליליים, או להיפך. אין זה משנה כלל, כל עוד נשמור על עקביות. [↩]
2. במקרה שלנו, הצורך בקבוע בולט במיוחד, שהרי בנוסחה שכתבתי לעיל ניתן לראות כי הביטוי בצד הימני של המשוואה מייצג גודל חסר יחידות, ואי אפשר להשוות גודל זה לכוח F שנמדד ביחידות מוסכמות. [↩]